X A XS X A XS T T T = Rk Rω R YA YS = Rk1 Rω1 R 1 YA YS Z A ZS Z A ZS
所以：
XA XS X A XS 1 1 X R R Y = Rk1 Rω1 YA YS = Rk1 Rω1 R 1 R YA YS Z A ZS Z A ZS Z XA XS 1 R 1 YA YS , (a) = R R Z A ZS
a26=
y f Y Z = 2( Z Y) k k k Z
由于：
X a1 Y = a2 Z a3
b1 b2 b3
c1 X A X S X A X S c2 YA YS = RT YA YS Z A ZS c3 Z A Z S
第三章 单张航摄像片解析
单张像片的空间后方交会 如果我们有每张像片的六个外方位元素，就 能恢复航摄像片与被摄地面之间的几何关系， 重建地面的立体模型。 我们可以利用一定数量的地面控制点，根据 共线方程，反求像片的外方位元素，这种方 法称之为单张像片的空间后方交会。
一、空间后方交会的基本公式
空间后方交会的数学模型是共线方程，即中心投影的构像方程：
x = f y = f
X
Z
Y
Z
各偏导数是系数，用新的符号表示，则：
x a11 = = X S
( f
X)X S来自Z =f 1X Z Z X X S X S
2
Z = (a1 f + a3 x)
=f
a1 Z + a3 X
2
Z
Z
同理可推导出
a12 = 1 x = (b1 f + b3 x) YS Z 1 x a13 = = (c1 f + c3 x) Z S Z a21 = 1 y = (a2 f + a3 y ) X S Z y 1 a22 = = (b2 f + b3 y ) YS Z y 1 = (c2 f + c3 y ) Z S Z
或写成： Vx = a11dX S + a12 dYS + a13 dZ S + a14 d + a15 dω + a16 dk l x V y = a21dX S + a22 dYS + a23 dZ S + a24 d + a25 dω + a26 dk l y 其中： a 1 ( X A X S ) + b1 (Y A Y S ) + c1 ( Z A Z S )
式中，x,y为像点坐标的观测值，(x),(y)为用控制点的物方坐标及 外方位元素的近似值代入中心投影方程求得的像点坐标近似值。
用矩阵形式表示为 V = AX l 式中： T
V = Vx V y
[ [
]
a11 A= a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a15 a25
a16 a26
四、空间后方交会的精度 求解各未知数的精度可以通过法方程系数矩阵求逆的方 法，解由其相应的权倒数 Qii ，按照下式计算未知数 的中误差
mi = m0 Qii
式中，m0 称为单位权中误差，计算公式为：
m0 = ± [VV ] 2n 6
这里，n为控制点的总个数。
式中，(x),(y)为函数的近似值。 dX S , dYS , dZ S , d , dω , dk 为六个外方位元素的改正数。
下面我们将各个偏导数的求法推演如下： 为书写方便，我们令共线方程中的分母、分子用下式表达：
X = a1 ( X A X S ) + b1 (YA YS ) + c1 ( Z A Z S ) Y = a2 ( X A X S ) + b2 (YA YS ) + c2 ( Z A Z S ) Z = a3 ( X A X S ) + b3 (YA YS ) + c3 ( Z A Z S )
空间后方交会的计算过程 1）获取已知数据：从摄影资料中查取像片比例尺，平 均航高，内方位元素；从外业测量成果中，获取控 制点的地面测量坐标并转换为地面摄影测量坐标。 2）量测控制点的坐标：将控制点标刺在像片上，利用 立体坐标量测仪量测控制点的像框标坐标系坐标， 并经像主点坐标改正，得到像点坐标x,y； 3）确定未知数的初始值：在竖直摄影的情况下，角元 素的初始值为0,即 0 = ω 0 = k0 = 0 ；线元素 X 中， Z S 0 = H = mf ， S 0 , YS 0 取值可 1 4 X S 0 = ∑ X tpi 4 i =1 用四个角上的控制点坐标的平均值，即：
x = f y = f a1 ( X A X S ) + b1 (YA YS ) + c1 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) + b3 (YA YS ) + c3 ( Z A Z S ) a2 ( X A X S ) + b2 (YA YS ) + c2 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) + b3 (YA YS ) + c3 ( Z A Z S )
计算中，通常将地面控制点的坐标认为是真值，而把相应的像点 坐标认为是观测值，加入相应的改正数 Vx ,Vy ，得 x + Vx , y + Vy 列 ， 出如下的每个点的误差方程式为：
x x x x x x Vx = dX S + dY S + dZ S + d + dω + dk + ( x ) x X S YS Z S ω k V = y dX + y dY + y dZ + y d + y d ω + y dk + ( y ) y S S S y X S YS Z S ω k
l x = x ( x ) = x + f a ( X X ) + b (Y Y ) + c ( Z Z ) 3 3 3 A S A S A S l = y ( y ) = y + f a 2 ( X A X S ) + b 2 (Y A Y S ) + c 2 ( Z A Z S ) y a 3 ( X A X S ) + b 3 (Y A Y S ) + c 3 ( Z A Z S )
当竖直投影时，角元素都是小角（小于3度），此时可近似认为 = ω = k = 0, Z A Z S = H ，各个系数的表达式可以得到简化。
空间后方交会计算中的误差方程和法方程 由于有六个未知数，所以至少需要知道三个 已知的地面控制点，为了能够平差，通常在 像片的四个角选取四个或更多的地面控制点。
将该式代入上式(a)，得:
X a1 Y = a2 Z a3 b1 b2 b3 c1 0 0 1 X A X S 0 c2 0 0 0 YA YS = b3 c3 1 0 0 Z A Z S b2 b3 0 b1 b2 X Y b1 0 Z
按照相仿得方法可得：
Z sin k X Y = Z cos k ω Z X sin k Y cos k
X Y Y = X k Z 0
将上述偏导数代入，可以求得其余的系数如下
x ( x cos k y sin k ) + f cos k ] cos ω f x a15 = f sin k ( x sin k + y cos k ) f a16 = y a14 = y sin ω [ x ( x cos k y sin k f sin k ) f sin k ] cos ω f y a25 = f cos k ( x sin k + y cos k f a26 = x a24 = x sin ω [
上式是非线性函数，为了便于计算机计算，需要按泰勒级数展开， 舍弃二次项，使之线性化得：
x x x x x x x = ( x) + dX S + dYS + dZ S + d + dω + dk X S YS Z S ω k y = ( y ) + y dX + y dY + y dZ + y d + y dω + y dk S S S X S YS Z S ω k
a23 =
另外，
x f X Z a14 = = 2 ( Z X) Z
x f X Z a15 = = 2 ( Z X) ω ω ω Z
x f X Z a16 = = 2 ( Z X) k k k Z
y f Y Z = 2 ( a24 = Z Y) Z
y f Y Z a25 = = 2 ( Z Y) ω ω ω Z
1 4 YS 0 = ∑ Ytpi 4 i =1
4) 计算旋转矩阵R：利用角元素的近似值计算 方向元素，组成旋转矩阵R。 5）逐点计算像点坐标的近似值：利用未知数 的近似值按照共线方程计算控制点像点坐 标的近似值(x),(y)； 6) 组成误差方程式 7) 组成法方程式 8）解求外方位元素 9）检查计算是否收敛：将求得外方位元素的 改正数与规定的限差比较，小于限差则计 算终止，否则迭代计算。
X = [dX S V = lx ly
]
dYS
dZ S
d
dω
dk ]
T
若有n个控制点，构成总误差方程式 V = AX L 根据最小二乘原理，得法方程式 AT PAX = AT PL 由此得未知数的表达式
X = ( AT A) 1 AT PL
由于未知数的近似值往往是粗略的，因此，计 算必须通过逐渐趋近的方法，即用近似值与改 正数的和作为新的近似值，重复计算过程，求 出新的改正数，这样反复趋近，直到改正数小 于某一个限值为止。
而：
cos T R 1 = R = 0 sin cos R R = 0 sin