第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
第三讲
教学要点：
卷积积分的定义 卷积积分的求解 卷积积分的性质
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
卷积的定义
1.信号分解为冲激信号序列 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基
本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号 的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的 物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
当t>3时，f2(t-τ)波形如图2.2-2(e)所示，此时，仅在0<τ<3范 围内，乘积f1(τ)f2(t-τ) 不为零，故有
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
例2 设
f1(t) 3e2t (t), f2 (t) 2 (t), f3(t) 2 (t 2).
第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、四、五 步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
例 1 给定信号 f1(t) (t) (t 3)
f2(t) et (t) 求y(t)=f1(t)*f2(t)。
f1(t) 1
f2(t) 1
第二步，将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到f2(-τ)波形。 第三步，给定一个t值，将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。在t<0时， 波形 往左移；在t>0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-τ)的波形。
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被积函数 f1(τ)f2(t-τ)。 第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间包含的净面积， 便是卷积在t时刻的值。
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析 性质2 f(t)
(1) 信号f(t)与冲激信号δ(t)的卷积等于f(t)本身，即
f (t) (t) (t) f (t) f (t)
f (t) (t t1) (t t1) f (t) f (t t1)
f (t t1) (t t2 ) f (t t2 ) (t t1) f (t t1 t2 )
求卷积积分（1）f1(t) * f2 (t)，（2）f1(t) * f2 (t)
(1)解：f1(t) * f2 (t)
3e2 ( ).2 (t )d
( ),当 0时为 ( ) 0， (t ),当t 0, (t ) 0
f1(t) *
f2 (t)
6
t e2 d
0
3(1 e2t )
f1(t t1) f2(t t2 ) y(t t1 t2 )
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
f (t) (t) (t) f (t) f (t)
(t)
*
=
f (t) (t t1) (t t1) f (t) f (t t1)
f (t) A
－10 1 t
(t－t0)
f (t) * (t－t0)
1
(1 )
A
(1 )
＝
o
t0
t
o t0－ 1 t0 t0＋ 1 t
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
(t)
h1(t)
h2(t)
h(t)＝h1(t) *h2(t)
(t)
h2(t)
h1(t)
h(t)＝h2(t) *h1(t)
图2.20 系统级联满足交换律
f1(t)
∑
h(t)
y(t)
f2(t)
f1(t)
h(t)
∑
y(t)
f2(t)
h(t)
图2.21 卷积分配律示意图
当Δτ→0
写作d , k写作 ,求和符号写成积分符号
f
(t)
Lim f
0 n
k
(k )pn (t
k im f
0 n
k
(k )hn (t
k )
f ( )h(t )d
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
2.卷积的定义： 卷积积分指的是两个具有相同自变量t的函数f1(t)与f2(t)相
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
图2.18 信号分解为冲激序列
f(t)近似看成由一系列强度不同，接入时刻不同的窄脉冲组成
f (t) f (k ) pn (t k ) k
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
设输入窄脉冲Pn(t)的零状态响应为hn(t)
y f (t) f (k )hn (t k ) k
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
2、卷积性质
性质1 卷积代数运算
卷积运算满足三个基本代数运算律，即
交换律
f1(t) f2(t) f2(t) f1(t)
结合律 f1(t) [ f2 (t) f3(t)] [ f1(t) f2 (t)] f3(t)
分配律 f1(t) [ f2 (t) f3(t)] [ f1(t) f2 (t) f1(t) f3(t)
y(t) y(3)
0
3t
τ
(e) t＞ 3
0
3
t
(f )
图 2.2 – 2 卷积的图解表示
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
当t<0时，f2(t-τ)波形如图2.2-2(c)所示，对任一τ，乘积f1(τ)f2(tτ)恒为零，故y(t)=0。 当0<t<3时，f2(t- τ)波形如图2.2- 2(d)所示。
卷积后成为第三个相同自变量t的函数y(t)。 这个关系表示为
y(t) f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
(2.3-8)
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
1 卷积的图解法
卷积积分的求解
信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：
第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成τ轴，分别 得到f1(τ)和f2(τ)的波形。
0 1234 t
o
t
(a)
(b)
图 2.2 – 1 f1(t)和f2(t)波形
第2章 离散连信续号系与统系的统时的域Z 分析
f1( ) 1
f2(－ ) 1
0 1234 (a)
o
(b)
f2(t－ )
1
f1( )
t0 (c) t＜ 0
3
1 f2(t－ )
f1( )
0
t 3
(d) 0 ＜t ＜ 3
1
f1( ) f2(t－ )