2.1 函数及其表示
考情分析
考点新知①本节是函数部分的起始部分，以考查函数
概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力.
②本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是2015年高考的重要题型．①理解函数的概念，了解构成函数的要素.
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰
当的方法(如图象法、列表法、解析法)表
示函数.
③了解简单的分段函数，并能简单应用
.
1. 函数的定义
一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的一个元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A．
2. 函数的三要素
函数的构成三要素为定义域、值域、对应法则．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．
3. 函数的表示方法
表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法．
4. 分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．
5. 映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．
『备课札记』
题型1函数的概念
例1判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数．
(1) A＝B＝N*，对应法则f：x→y＝|x－3|，x∈A，y∈B；
(2) A＝『0，＋∞)，B＝R，对应法则f：x→y，这里y2＝x，x∈A，y∈B；
(3) A＝『1，8』，B＝『1，3』，对应法则f：x→y，这里y3＝x，x∈A，y∈B；
(4) A＝{(x，y)|x、y∈R}，B＝R，对应法则：对任意(x，y)∈A，(x，y)→z＝x＋3y，z ∈B.
『解析』(1) 对于A中的元素3，在f的作用下得到0，但0不属于B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
(2) 集合A中的一个正数在集合B中有两个元素与之对应，所以不是函数．
(3) 由y3＝x，即y＝3
x，因为A＝『1，8』，B＝『1，3』，对应法则f：x→y，符合函
数对应．
(4) 由于集合A不是数集，所以此对应法则不是函数．
备选变式（教师专享）
下列说法正确的是______________．(填序号)
①函数是其定义域到值域的映射；
②设A＝B＝R，对应法则f：x→y＝x－2＋1－x，x∈A，y∈B，满足条件的对应法则f构成从集合A到集合B的函数；
③函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点有且只有1个；
④映射f：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x，则这样的映射f共有1个．
『答案』①④
『解析』②中满足y＝x－2＋1－x的x值不存在，故对应法则f不能构成从集合A 到集合B的函数；③中函数y＝f(x)的定义域中若不含x＝1的值，则其图象与直线x＝1没有交点．
题型2函数的解析式
例2求下列各题中的函数f(x)的解析式．
(1) 已知f(x＋2)＝x＋4x，求f(x)；
(2) 已知f ⎝⎛⎭⎫
2x ＋1＝lgx ，求f(x)；
(3) 已知函数y ＝f(x)满足2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，x ∈R 且x≠0，求f(x)； (4) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，求f(x)． 『解析』(1) (解法1)设t ＝x ＋2，则x ＝t －2，即x ＝(t －2)2， ∴ f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＝t 2－4， ∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．
(解法2)∵ f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4， ∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)． (2) 设t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1
，
∴ f(t)＝lg 2t －1，即f(x)＝lg 2
x －1(x>1)．
(3) 由2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫
1x ＝2x ，① 将x 换成1x ，则1
x 换成x ，得
2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f ()x ＝2
x
，② ①×2－②，得3f(x)＝4x －2
x ，得
f(x)＝43x －23x
.
(4) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c ＝1. 由f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，得
a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝(ax 2＋bx ＋1)＋2x ， 整理，得(2a －2)x ＋(a ＋b)＝0，
由恒等式原理，知⎩
⎪⎨
⎪⎧2a －2＝0，
a ＋
b ＝0⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝－1， ∴ f(x)＝x 2－x ＋1. 变式训练
求下列函数f(x)的解析式．
(1) 已知f(1－x)＝2x 2－x ＋1，求f(x)； (2) 已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1
x
2，求f(x)；
(3) 已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x －1，求f(x)；
(4) 定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，求f(x)． 『解析』(1) (换元法)设t ＝1－x ，则x ＝1－t ， ∴ f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t 2－3t ＋2， ∴ f(x)＝2x 2－3x ＋2.
(2) (配凑法)∵ f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1
x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴ f(x)＝x 2＋2.
(3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数， ∴ 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则
f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b. ∵ f(f(x))＝4x －1，
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，
b ＝－13
或⎩⎪⎨
⎪
⎧a ＝－2，b ＝1，
∴ f(x)＝2x －1
3或f(x)＝－2x ＋1.
(4) (消去法)当x ∈(－1，1)时，有 2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，①
以－x 代替x 得2f(－x)－f(x)＝lg(－x ＋1)，② 由①②消去f(－x)得，
f(x)＝23lg(x ＋1)＋1
3lg(1－x)，x ∈(－1，1)．
题型3 分段函数
例3 已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x≥1.
(1) 若a ＝－3，求f(10)，f(f(10))的值； (2) 若f(1－a)＝f(1＋a)，求a 的值．
『解析』(1) 若a ＝－3，则f(x)＝⎩
⎪⎨⎪
⎧2x －3，x<1，－x ＋6，x≥1.
所以f(10)＝－4，f(f(10))＝f(－4)＝－11. (2) 当a>0时，1－a<1，1＋a>1，
所以2(1－a)＋a ＝－(1＋a)－2a ，解得a ＝－3
2，不合，舍去；
当a<0时，1－a>1，1＋a<1，
所以－(1－a)－2a ＝2(1＋a)＋a ，解得a ＝－3
4，符合．
综上可知，a ＝－3
4.
备选变式（教师专享）
如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y.
(1) 求y 与x 之间的函数关系式； (2) 画出y ＝f(x)的图象．
『解析』(1)y ＝⎩⎨⎧
2x ()0≤x≤4，
8()4<x≤8，－2x ＋24()8<x≤12.
(2)y ＝f ()x 的图象如图．
1. 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射不是函数．
2. 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：① 定义域和对应法则是否给出；② 根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，
是否都有唯一确定的函数值．
3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法，换元法，待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．。