（5） 和（差）的立方： a b a3 b3 3ab a b ; a b a3 b3 3ab a b ；
（6） 立方和（差）： a3 b3 a b a2 ab b2 ; a3 b3 a b a 2 ab b2 ； （7） （8） 2.
1 1 a 2 4a b2 b (a 2 b2 ) ，即 3a2 8a (b 1) 2 ≤4 a 2 ，所以 a ≥ 8 或 a ≤ 0 ，因此 2 2 只能有 a 0 ，和第一种情况是同一个解．
2、不定方程 这类问题通常是考虑整数解的问题，经常使用到因式分解，配方或者放缩。 【例2】 (2007 年竞赛)方程 x3 6 x2 5x y3 y 2 的整数解 x, y 的个数是（ ）． A.0 B.1 C.3 D.无穷多 【解析】 选 A.原方程可变形为：x x 1 x 2 3x x 1 y y 1 y 2 2 ，左边是 6 的 倍数，而右边不是 6 的倍数．
2 2 2
3 x y 3 0 5 5 5 1 当 时，上式取得最小值，此时 x ， y ，最小值为 ． 2 6 6 x 5 0 6
（2） 乘法公式与最值 【例8】 （2012 年联赛）已知实数 a、b 满足 a2 b2 1 ，则 a4 ab b4 的最小值为（ A． 【解析】 B.
5、乘法公式的运用 （1） 乘法公式的直接使用 这类问题结构特征与常见的基本乘法公式明显一致， 直接使用即可， 当然我们需要 注意一些限制条件，比如分母，取等条件等等。 【例9】 （2004 年联赛） 已知 abc 0 ， 且abc 0， 则代数式 A．3 B．2 C．1 D．0
a 2 b2 c 2 的值是 （ bc ca ab
2
（3） 三元完全平方： a b c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca ；
2
（4）
1 2 2 2 a 2 b2 c2 ab bc ca a b b c c a ； 2
3 3
3、整体降次 结合整体和降次的思想， 利用大除法等工具,近些年来这类题目更多的会结合根式和 分式的形式出现，这类题目我们会在分式和根式中再次介绍，目的是希望大家牢固的掌 握。 【例3】 （1998 年联赛）已知 x2 x 1 0 ，那么代数式 x3 2 x 1 的值是_________．
故 0 (ab )
2
1 4
9 1 2 9 9 9 4 4 ，因此 0 2(ab ) ，即 0 a ab b . 16 4 8 8 8
因此 a 4 ab b4 的最小值为 0，当 a
2 2 2 2 或a 取得. ,b ,b 2 2 2 2
3 2 【解析】 2 。 x 2 x 1 x 1 x x 1 2 2 .
【例4】 (2008 年联赛)设 a
2 2
a 5 a 4 2a 3 a 2 a 2 5 1 ___________。 ，则 a3 a 2
5 1 3 5 2 【解析】 2 。∵ a 2 2 1 a ，∴ a a 1 ，
a3 b3 c3 3abc a b c a 2 b2 c 2 ab bc ca
a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2 a2 a b c a b c b c a c a b
【例5】 （2011 年竞赛）设 x A．0 B．1
5 3 ，则代数式 x( x 1)( x 2)( x 3) 的值为（ ） 2
C．－1 D．2
【解析】 C。 x x 3
5 3 5 3 59 5 1 5 1 5 1 1 ， x 1 x 2 1 2 2 4 2 2 4
2
A.正数
D.整数
2
4 y 2 11 1 384 M 3x 2 8xy 9 y 2 4 x 6 y +13 3 x 0 y 3 3 11 33
【例7】 （2001 年联赛）求实数 x, y 的值，使得 ( y 1)2 ( x y 3)2 (2 x y 6)2 达到最小 值． 【解析】 y 1 x y 3 2 x y 6
4、配方与最值 配方法是我们初中阶段最重要的方法之一，某些题目里面需要我们把完全平方公式 理解和运用的比较熟练，同时在近些年中，利用乘法公式的一些变形以及函数的最值的 使用也渐渐融入进来，所以这类问题综合性在增加，需要我们平时多留心积累经验。 （1） 配方与最值 【例6】 （2005 年竞赛）若 M 3x2 8xy 9 y 2 4 x 6 y +13 ( x, y 是实数)，则 M 的值一定 是( 【解析】 选 A. ) B.负数 C.零
）
1 8
B．0
C．1
D．
9 8
1 9 a 4 ab b4 (a 2 b2 )2 2a 2b2 ab 1 2a 2b2 ab 2(ab ) 2 . 4 8
因为 2 | ab | a 2 b2 1 ，所以
1 1 3 1 1 ab ，从而 ab ， 2 2 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 4
2 2 2
5x2 6 xy 3 y 2 30 x 20 y 46
2 2
3 3 5x2 6 y 30 x 3 y 20 y 46 5 x y 3 5 y 3 3 y 2 20 y 46 5 5 3 3 5 1 6 6 5 x y 3 y2 2 y 1 5 x y 3 y 5 5 5 5 6 6
近15年"整式"考察分值 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 39 34 39 34 21 14 7 0 7 0 7 7 14 7 14
总结这几年来初中数学联赛对整式的考察， 整式一般会考察 2 道题左右， 考察的分值最 高达到 39 分（2 道一试题外加 1 道二试题），而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟 随几年的低峰，我们可以认为在接下来的一两年内，会在一试中进行 2 题左右的考察。
a b ________．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 1 .分情况讨论，可得 1 2a b 2a 1 b2 a2 或 (1 2a b) 2a 1 b2 a2 ．
如果是第一种， 则 b 2 b2 a 2 ， 消去 a 可得 2b2 b 3 0 ， 可得 b 1 或
）
3 3 3 2 2 2 【解析】 A。 a b c 3abc a b c a b c ab bc ca 0 ，
所以
a 2 b 2 c 2 a 3 b3 c 3 3. bc ca ab abc
二、整式中的知识与技巧
整式为后续分式和根式提供了方向，代数式是方程的基础，方程是函数的基础，而整式 恒等变形的技巧贯穿了整个代数，可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。 整式中的知识大体来说包含了：乘法公式，因式分解及恒等变形，三个部分，这里简单 的介绍前两个部分的基础知识。 1. 乘法公式 这里介绍常用的八个乘法公式： （1） 平方差： a2 b2 a b a b ； （2） 平方： a b a 2 2ab b2 ；
3 2 3 2 5 4 3 a 2 a 2 a a a 2a a a 2 ∴ a a 2a a3 a a a2 a

a 3 2a 3 1 2 1 a 3 1 a3 1 a a 2 (1 1) 2 ． a 1 a a a 2 1 a
x y y z z x
前 8 种因式分解的方法在初中均要求学生掌握， 后 2 种有兴趣有精力的学生可以选 择性的进行学习。 3. 恒等变形的常见技巧 （1） 因式分解； （2） 配方； （3） 消元、降次； （4） 轮换对称； （5） 配对.
三、联赛中整式的考察方式
1、结合绝对值 结合绝对值非负性以及整数的离散性。 【例1】 （2009 年联赛）如果实数 a, b 满足条件 a2 b2 1, 1 2a b 2a 1 b2 a 2 ，则
因式分解 简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法： （1） 提取公因式：上午+下午=（上+下）午； （2） 公式法： x6 y 6 x3 y3 x3 y3 x y x y x 2 xy y 2 x 2 xy y 2 ； （3） 分组分解法： ax ay bx by a x y b x y a b x y ； （4） 十字相乘:二次三项式 abx2 ad bc x cd ax b cx d ； （5） 双十字相乘： 选定两个二次三项式进行十字相乘； 分步两次十字相乘大致相同； （6） 拆项天项: a4 a2b2 b4 a4 2a2b2 b4 a 2b2 a2 ab b2 a 2 ab b2 ; （7） 整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单； （8） 主元法：多字母的代数式，可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解； （9） 因式定理：多项式 f x ，当 x a 的时候 f a 0 ，则 f x 有因式 x a （10） 轮换对称式:简单举例：若关于 x、y、z 的轮换式有因式 x y ，则其有因式