第5章时变电磁场和平面电磁波5.1 / 5.1-1 已知z2=1+j，求复数z的两个解。

2[解] z=1+j=jπjπ2e z1=2e=1.189ej22.5=1.099+j0.455j22.5 z2=-1.189e=-1.099-j0.4555.2 / 5.1-2 已知α是正实数，试证：(a)若α<<1,jα⎫⎛+jα≈± 1+⎪; 2⎝⎭jα⎫⎛+jα≈± 1+⎪;。

2⎭⎝(b)若α>>1,[解] ( a) α<<1: +jα=(b) α>>1:+α2ejtan-1α≈e(jααα⎫α⎫⎛⎛=± cos+jsin⎪≈± 1+j⎪ 22⎭2⎭⎝⎝+jα=+α2ejtanα-1≈⎛αe⎝jπ⎫⎪⎭ππ⎫⎛=± co+jsi⎪ 44⎭⎝=±(1+j)2=e+je，H（t）的复振幅为H =h+jh，试证5.3 / 5.1-3设E（t）的复振幅为Eii H ejωt，并求E（t）E(t)H(t)≠ReE、H（t）。

ejωt=1E ejωt+E *e-jωt [解] E(t)=ReE[][](2)1 jωt *e-jωt He+H21 * * H ej2ωt+E *H *e-j2ωt 得 E(t)H(t)=EH+EH+E41 H *+E H ej2ωt≠ReE H ejωt =ReE2H(t)=()()[][]E(t)=Re(e+jei)ejωt=Re[(e+jei)(cosωt+jsinωt)]=ecosωt-eisinωt 1 []H(t)=Re(h+jhi)ejωt=hcosωt-hisinωt E(t)H(t)=ehcos2ωt+eihisin2ωt-ehicosωtsinωt-eihcosωtsinωt []=1[eh+eihi+(eh-eihi)cos2ωt-(eh i+eih)sin2ωt] 2可见,为恒定成分与二倍频成分的叠加.5.4 / 5.1-4 将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或作相反的变换：ˆE0sin(ωt-kz)+yˆ3E0cos(ωt-kz)； (a) (t)=xˆ⎢E0sinωt+3E0cos ωt+(b) (t)=x⎣ˆ+jyˆ)e(c) =(xˆjH0e(d) =-y⎡⎛⎝π⎫⎤⎪； 6⎭⎥⎦-jkz；。

-jkzsinθ-j-jkzˆE0ee2+yˆ3E0e-jkz=(-jxˆ+yˆ3)E0e-jkz [解] (a) =xπππ⎡j⎤-j⎡⎛3⎛31⎫⎤1⎫⎪⎥=x⎪ ˆ⎢E0e2+3E0e6⎥=xˆE0⎢-j+3 ˆE0 (b) =x+j+j 2⎪2⎭⎥2⎪⎢⎝⎝2⎭⎣⎦⎣⎦ˆcos(ωt-kz)+yˆcos ωt-kz+(c) (t)=x⎛⎝π⎫ˆcos(ωt-kz)-yˆsin(ωt-kz) ⎪=x2⎭ˆH0co (d) (t)=ysωt-kzsinθ-⎛⎝π⎫ˆH0sin(ωt-kzsinθ) ⎪=y2⎭ˆE0sin(ωt-kz)5.5 / 5.2-1 已知自由空间某点的电场强度(t)=x(a) 磁场强度(t)；(b) 坡印廷矢量(t)及其一周T=2π/ω内的平均值S[解] (a）αv(Vm)，求。

Ekπ⎫⎛jωt=yˆˆ0sin(ωt-kz) (t)=ReE0cos ωt-kz-⎪=yωμ02⎭η0⎝[]式中ωμ0k=ωμ0=ωμ0ε0E02μ0=η0 ε022Eˆ⨯yˆˆ0[1-cos2(ωt-kz)] sin(ωt-kz)=z(b) (t)=(t)⨯(t)=xη02η0av1=T⎰T0Eˆ0 (t)dt=z2η025.6 / 5.2-2 对于非均匀的各向同性线性媒质，请导出其无源区电场强度复矢量的波动方程。

[解] 无源区限定形式麦氏方程为=-jωμ (1) ∇⨯=jωε ∇⨯(2) (3) (4) +⋅∇ε=0 =0, 即ε∇⋅∇⋅ε())=0 ∇⋅(μ由(1),∇⨯∇⨯=-jω∇⨯2) (μ)-∇=-jω(μ∇⨯+∇μ⨯) ∇(∇⋅⎛∇ε⎫22⎪+∇=-ωμε+jω∇μ⨯ε⎭⎝利用(2)(3)后, ∇⋅再利用(1)式代入, 得+ω2με+∇∇2 ⋅⎛⎝∇ε⎫∇μ=0 ⨯∇⨯⎪+ε⎭μ-jk1zˆE10e5.7 / 5.3-1设真空中同时存在两个时谐电磁场，其电场强度分别为1=x 试证总平均功率流密度等于两个时谐场的平均功率流密度之和。

[证1] av122E10E20avˆˆ=z，2=z 2η02η022E10+E20ˆ=z=1av+2av 2η0ˆE20e，2=y-jk2z，故 avE10-jk1z-jk1z=1z=y=xˆˆˆEe⨯e[证2] ，11011η0η0E20-jk2z-jk2z=1z=-x=yˆˆˆEe⨯e，22022η0η0av12⎡E102⎤E10⎡1*⎤ˆˆ=Re⎢1⨯1⎥=Re⎢z，⎥=z2η0⎣2⎦⎢2η0⎦⎥⎣av22E20*ˆ=Re2⨯2=z 2η0[]⎛E10jk1zE20jk2z⎫⎤⎡1⨯*+*⎤=Re⎡1x-jk1z-jk2z ˆˆˆˆSav=Re⎢+Ee+yEe⨯ye-xe⎪⎢⎥ 1212⎥1020 ⎪η0⎣2⎦⎢2⎥⎝η0⎭⎦⎣()()()222⎡E102E20⎤E10+E20ˆˆˆ=Re⎢z+z=1av+2av ⎥=z2η0⎦2η0⎣2η0，外5.8 / 5.3-2同轴线内导体半径为a，外导体内半径为b，某截面处内外导体间电压的复振幅为U。

试用复坡印廷矢量计算内、外导体间向负载传输的总功率。

导体上电流的复振幅为II *b1U1 *⋅2π⎰2⋅ρdρ=UI [解] P=⎰⋅ds=Saρb24πlna5.9 / 5.3-3在理想导体平面上方的空气区域（z＞0）存在时谐电磁场，其电场强度为ˆE0sinkzcosωt。

(t)=x(a) 求磁场强度(t)；(b) 求在z=0，π/4k和π/2k处的坡印廷矢量瞬时值及平均值；(c) 求导体表面的面电流密度。

[解] (a) (t)=Rek[]=yˆωμjωt2Eπ⎫⎛ˆ0coskzsinωt, η0=E0coskzcos ωt+⎪=-y2⎭η0⎝0 ε0Eˆ0sn2kzsin2ωt (b)(t)=(t)⨯(t)=-z4η0z=0, (t)=0Eˆ0sin2ωt z=, (t)=-z4η04kπ2z=π2k, (t)=0av1=Tav⎰T0E1ˆ0sin2kz⋅(t)⋅dt=-z4η0T2⎰T0sin4πt=0 T或⎡j⎤⎡1*⎤2ˆ=Re⎢⨯⎥=Re⎢zE0sin2kz⎥=0 ⎣2⎦⎣4η0⎦ˆ⨯(c) s=n⎡⎣z=0ˆjˆ⨯y=zE0E0η0ˆj=-xE0η0 ˆj s(t)=Re⎢-x5.10 / 5.3-4⎤EEπ⎫⎛ˆ0co ˆ0sinejωt⎥=xsωt-⎪=xωt η0η2η⎝⎭00⎦已知时谐电磁场瞬时值为ˆ2Eecos(ωt+30 )，Ee(t)=xe和，求坡印廷矢量瞬时值ˆ2Hecos(ωt+30 )。

请写出其复矢量He(t)=yˆEeHe。

(t)=e(t)⨯e(t)，并证明其一周平均值为Sαv=zˆ2Eee[解] e=xj30 =yj30 ˆ2He ee2ˆ2EeHecos (t)=Ee(t)⨯He(t)=zav=ˆ[EH(ωt+30)=z ee+EeHecos(2ωt+60 ) ]1T1T ˆˆEeHe, 得证.()tdt=zEH+EHcos2ωt+60dt=zeeee⎰⎰00TT[()]5.11 / 5.3-5 设时谐电磁场瞬时值为jωt,(t)=Imjωt (t)=Im试求坡印廷矢量瞬时值(t)=(t)⨯(t)，并求其一周内平均值S [解] (t)=Imαv][]。

[]=21j[jωtjωt*e-jωt -](t)=Im[]=21j[jωtjωt*e-jωt -]1j2ωt****-j2ωt ⨯-⨯-⨯+⨯e41 *-⨯j2ωt ⨯ =ReE2 ∴(t)=(t)⨯(t)=-][]av=1T1⎡1T*j2ωt⎤1⨯* ()tdt=Re⨯-⨯dt=Re⎰⎥2T⎰02⎢⎣T0⎦()[]5.12 / 5.4-1 氦氖激光器发射的激光束在空气中的波长为6.328×10-7m，计算其频率、周期和波数（标出单位）。

[解] k=2πλc=2π=9.929⨯106m-1 -76.328⨯103⨯108f===4.741⨯1014Hz -7λ6.328⨯10T=1 =2.109⨯10-15secf5.13 / 5.4-2 人马座α星离地球4.33光年，1光年是光在一年中传播的距离。

问该星座离地球多少km?[解] r=ct=3⨯10⨯4.33⨯365⨯24⨯3600=4.097⨯10m=4.1⨯10km5.14 / 5.4-3 地球接收太阳全部频率的辐射功率密度约为1.4kW/m2。

问：(a) 若设到达地面的是单一频率的平面波，则其电场强度和磁场强度振幅多大？(b) 地球接收太阳能总功率约为多少？地球半径为6380km。

(c) 若太阳的辐射是各向同性的，那么太阳总辐射功率约为多大？太阳与地球相距约1.5×108km。

81613E2=1.3⨯103 [解] (a) 2η0∴E=2η0⨯1.3⨯10=990V/m, H=23263Eη0=2.63A/m 1711(b)P=S⋅4πa=1.4⨯10⨯π⨯6380⨯10=7.16⨯10W=7.16⨯10MW(c) P=S⋅4πR2=1.4⨯103⨯4π⨯1.52⨯1016⨯106=3.68⨯1026W=3.68⨯1020MW 65.15 / 5.4-4图5-1所示为对称振子天线。

若用它来接收波长λ的电视信号，当其长度L≈λ/2时最有效。

问接收下列频道时，L应取多长：(a) 5频道（f0=88MHz）； (b) 8频道（f0=187MHz）；(c) 26频道（f0=618MHz）。

c3⨯108[解] (a) λ===3.41m,f88⨯1062c3⨯108==1.604m, (b) λ=f187⨯106∴L=∴L=λ=1.71m λ2=0.802mc3⨯108λ==0.485m(c) λ=, ∴L==0.243m=24.3cm f618⨯1062ˆE0e5.16 / 5.4-5 设=z-jkz，该电场是否满足无源区麦氏方程组？若满足，求出其场；若不满足，请指出为什么。

ˆ⋅=-jkE[解] ∇⋅=-jkz0e-jkz≠0 该电场不满足无源区麦氏方程组.ˆ)的坡印廷矢量,即不可能沿纵向传播,与假这是因为该电场无横向分量,因而不会形成沿纵向(z设矛盾.5.17 / 5.4-6 在理想介质中一平面波的电强度为ˆ5cos2π108t-z(t)=x()(Vm)(a) 求介质中波长及自由空间波长；(b) 已知介质μ＝μ0，ε=ε0εr，求介质的εr；(c) 写出磁场强度的瞬时表示式。