第一章空间几何体检测试题
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．下列命题正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
3．给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图1­1是一幅电热水壶的主视图，它的俯视图是( )
图1­1
5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A．16π B．20π C．24π D．32π
6．两个球的体积之和为12π，且这两个球的大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是( )
A.1
2
B．1 C．2 D．3
7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )
A．4 B．3 C．2 D．5
8．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现又沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图1­2所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
A．南 B．北 C．西 D．下
9．图1­3是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
图1­3图1­2
A．32π B．16π C．12π D．8π图1­4
10．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，如图1­4.若将△ABC绕BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
A.9
2
π B.
7
2
π C.
5
2
π D.
3
2
π
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的体积为__________．
12．圆台的高是12 cm，上、下两个底面半径分别为4 cm和9 cm，则圆台的侧面积是__________．13．已知四棱锥P­ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱锥的体积是________．
14．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．
三、解答题(共80分)
15．(12分)圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，求圆柱的侧面上从A到C的最短距离．
16．(12分)如图1­5，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85 m，底面的边长是
1.5 m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板(精确到0.1 m2)?
图1­5
17．(14分)如图1­6是一个奖杯的三视图．求这个奖杯的体积(精确到0.01 cm3)．
图1­6
18．(14分)如图1­7，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为多少？
图1­7 19．(14分)如图1­8，已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大．
图1­8
20．(14分)如图1­9，在正四棱台内，以小底为底面，大底面中心为顶点作一内接棱锥．已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．
图1­9
第一章自主检测
1．D 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B
7．B 解析：如图D60，设球的半径是r ，则π·BD 2＝5π，π·AC 2＝8π，∴BD 2
＝5， AC 2＝8.又AB ＝1，设OA ＝x .∴x 2＋8＝r 2，(x ＋1)2＋5＝r 2.解得r ＝3. 8．B 9.C
10．D 解析：旋转体的体积就是一个大圆锥体积减去一个小圆锥的体积，13·π·(3)2
×52
－
13·π·(3)2×1＝32π. 11．2 3 12.169π cm 2 13.96 14.1∶8 15．解：如图D61，由圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形，知：圆柱高CD 为5 cm ，底面半径为2.5 cm ，底面周长为5π cm，则AD 为2.5π cm，圆柱侧面上从A 到C 的最短距离即是矩形ABCD 的对角线长为
52＋ 2.5π2＝5
2
π2＋4 (cm)．
16．解：SE ＝0.852＋0.752.所需铁板面积为S ＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12×1.5×0.852＋0.752≈3.4(m 2)．
17．解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个正四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体．
V 正四棱台＝1
3×5×(152＋15×11＋112)≈851.667(cm 3)，V 长方体＝18×8×8＝1152(cm 3)，
V 球＝4
3
π×33≈113.097(cm 3)，所以，这个奖杯的体积为V ＝V 正四棱台＋V 长方体＋V 球≈2116.76(cm 3)．
18．解：当侧面AA 1B 1B 水平放置时，纵截面中水液面积占1－14＝34，所以水液体积与三棱柱体积比为3
4
.
当底面ABC 水平放置时，液面高度为8×3
4
＝6.
19．解：(1)设内接圆柱底面半径为r .其轴截面如图D62.
S 圆柱侧＝2πr ·x . ①∵r R
＝H －x H ，∴r ＝R
H
(H －x )． ②
②代入①，得S 圆柱侧＝2πx ·R H (H －x )＝2πR
H
(－x 2＋Hx )(0<x <H )．
(2)S 圆柱侧＝2πR H (－x 2
＋Hx )＝2πR H ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －H 22＋H 24，
∴x ＝H 2
时，S 圆柱侧最大＝πRH 2
.
20．解：如图D63，过高OO 1和AD 的中点E 作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高EE 1和棱锥的斜高EO 1. 设OO 1＝h ，所以
S 锥侧＝1
2·4b ·EO 1＝2bEO 1，
S 台侧＝1
2(4a ＋4b )·EE 1＝2(a ＋b )·EE 1.所以2bEO 1＝2(a ＋b )EE 1. ①
由于OO 1E 1E 是直角梯形，其中OE ＝b 2，O 1E 1＝a
2
.
由勾股定理，有EE 21＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 22，EO 21＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
b 22
. ②
①式两边平方，把②代入，得b 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫h 2＋b 2
4＝(a ＋b )2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤h 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 22.
解得h 2
＝a 2b 2－a 24a ＋2b ，所以h ＝12 a 2b 2－a 2a ＋2b
.
显然，由于a >0，b >0，所以此题当且仅当a <2b 时才有解．。