• (x, y)
(
x
,
y
(
)
x0
,
y0
)
O
x
23
8.1 多元函数的极限与连续
(2) 变点P (x, y) 与定点P0(x0, y0)之间的距离
记为 , ( x x0 )2 ( y y0 )2 PP0
不论P(x, y)趋向于P0(x0, y0) 的过程多复杂,
总可以用 0 来表示极限过程: P( x, y) P0 ( x0 , y0 )
本章在一元函数微分学的基础上, 讨论多元函 数的微分方法及其应用. 以二元函数为主, 但所得到 的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以 上的多元函数. 同时, 还须特别注意一些与一元函数 微分学显著不同的性质和特点.
第8章 多元函数微分法及其应用
2
8.1 多元函数的极限与连续
8.1 多元函数的极限与连续
O a
a
a x
5
8.1 多元函数的极限与连续
下面利用邻域来描述点和点集之间的关系.
任意一点 P R2与任意一点集 E R2 之间
必有以下四 点P E,若存在
0,使U(P) E,称P为E的 内点.(P1)
显然, E的内点属于E.
P3 •
• P1
半球面. 它在xOy平面上的投影是圆域:
D {( x, y) x2 y2 R2},
z
D就是函数 z R2 x2 y2
的定义域.
O
x
y
20
8.1 多元函数的极限与连续
又如, z xy 的图形是双曲抛物面(马鞍面). 它在xOy平面上的投影是全平面.
z
O
y
x
21
8.1 多元函数的极限与连续
27
8.1 多元函数的极限与连续
多元函数的极限的基本问题有三类:
(1) 研究二元函数极限的存在性.
* 欲证明极限存在, 常用定义或夹逼定理.
* 欲证明极限不存在 (通过观察、猜测).
常选择两条不同路径, 求出不同的极限值.
特别对于 lim f ( x, y),常研究 lim f ( x, y),
x0 y0
是区域吗? 是区域.
x y0 y x y0
•
E {( x, y) x 0, y 0}
不是区域. 因为不连通. 连结两点的任何折线都与 y轴相交, 相交点不属于E.
y
O•
x
O
x
10
8.1 多元函数的极限与连续
有界集 总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当 大的圆内的区域, 称此区域为 有界集.否则称为 无界 集 (可伸展到无限远处的区域 ).
闭集 若点集E的边界 E E,称E为闭集.
例 E2 {( x, y)1 x2 y2 4} E2为闭集.
例 E3 {( x, y)1 x2 y2 4}
E3既非开集, 也非闭集.
8
8.1 多元函数的极限与连续
连通集 如果点集E内任何两点, 都可用折线连
结起来, 且该折线上的点都属于E, 称E是 连通集.
不包括边界), 也称为点P0的邻域, y 几何表示
有时简记为 U (P0 ).
. P0
注 ① 将邻域去掉中心,
称之为 去心邻域. U (P0 , )
O
x
的几U全一何(②a体元表,点函也示)表称数可示之中将:为邻以与点域P点0P的为a0距邻概中离 域念心.小的: 于 某个的矩一形切内点(不x的算全周体界.)
例 集合{( x, y)1 x2 y2 2}是有界闭区域; 集合{( x, y) x y 0}是无界开区域; 集合{( x, y) x y 0}是无界闭区域.
11
8.1 多元函数的极限与连续
y
y
O
x
有界开区域
y
O
x
有界闭区域
y
O
x
有界半开半闭区域
O
x
无界闭区域
12
8.1 多元函数的极限与连续
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
注 (1) P (x, y)趋向于P0(x0, y0)的方向有任意
多个, 路径又是多种多样的.
y (x, y) (x, y)
(x, y)
(x, y)
(•x0 , y0 )
(x, y)
O
x
y (x, y) (x, y)
区域(或开区域) 连通的开集称为 区域或开区域.
• •
闭区域 开区域连同其边界一起所构成的点集,
称为闭区域.
如{( x, y)1 x2 y2 4}, {( x, y) x y 0}
都是闭区域.
9
8.1 多元函数的极限与连续
连通的开集称为区域或开区域.
E {( x, y) x y 0},
第8章 多元函数微分法 及其应用
z
z f (x, y)
•M
y
O
y
x
P
D
x
8.1 多元函数的极限与连续
上册已经讨论了一元函数微积分. 但在自然科 学、工程技术和经济生活的众多领域中, 往往涉及 到多个因素之间关系的问题. 这在数学上就表现为 一个变量依赖于多个变量的情形, 因而导出了多元 函数的概念及其研究与应用.
也是E的聚点; E的边界 E {( x, y) x2 y2 1或 x2 y2 2}.
7
8.1 多元函数的极限与连续
根据点集所属点的特征, 下面再定义一些重要 的平面点集的概念.
开集 若点集E的任意一点都是E的内点, 称E为 开集.
例 E1 {( x, y)1 x2 y2 4} E1为开集.
解
xy
0,
即定义域为
x
y
0和 0
x
y
0 0
y
O
x
无界闭区域
17
8.1 多元函数的极限与连续
(2) z 2x x2 y2 x2 y2 1
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
y
•
O
1
x
有界半开半闭区域
18
8.1 多元函数的极限与连续
2. 二元函数的几何意义
有
f (P) A f (x, y) A
成立. 则称A为z f ( x, y)当( x, y) ( x0 , y0 )时
的极限. 记作 lim f ( x, y) A ( x, y )( x0 , y0 )
或 f ( x, y) A ( 0)
也记作
lim
P P0
f (P)
A或
f (P)
x0 y kx 0
若其依赖于k , 则 lim f ( x, y) 不存在. x0 y0 找一条特殊路径, 使函数沿此路径的极限不存在.
28
8.1 多元函数的极限与连续
多元函数的极限的基本问题有三类: (2) 求极限值. 常按一元函数极限的求法求之. 如极限的保号性、无穷小与有界量的乘积仍 是无穷小、极限的四则运算、夹逼定理、两个重要 极限、等价无穷小替换乘除因子定理. (洛必达法则除外) (3) 研究二重极限与累次极限(二次极限)间的 关系.
13
8.1 多元函数的极限与连续
例 设R是电阻R1, R2并联后的总电阻. 由电学 知识知道, 它们之间具有如下的关系
R
R1 R2 R1 R2
,
R1
0, R2
0.
当电阻R1, R2取定后, R的值就唯一确定了.
14
8.1 多元函数的极限与连续
定义8.1 设D是R2的一个非空子集, 称映射
f : D R为定义在D上的二元(点)函数,记为 z f ( x, y), ( x, y) D
从一元函数到二元函数, 在内容和方法 上都会出现一些实质性的差别, 而多元函数 之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以二 元函数为主.
22
8.1 l多im元函f数(的x极) 限与A连续 0, 0,当 0
x x0
恒有
三、多元| f函(x数) 的A |极 .限
x
x0
时,
讨论二元函数z = f (x, y), 当x x0 , y y0 ,
类似, 可定义n元函数. 二元及二元以上的函数统称为 多元函数. 多元函数定义域: 实际问题中的函数: 定义域为符合实际意义 的自变量取值的全体. 纯数学问题的函数: 定义域为使运算有意义 的自变量取值的全体. 多元函数的自然定义域.
16
8.1 多元函数的极限与连续
例1 求下面函数的定义域
(1) z xy
A (P
P0 ).
内是xl恒总Eim的x有有0如聚fE果( 中 点x对)的 .于点A任(P意本|给身f定(可x0的),属于AE|0,0,也P,.当的可去0不心属x邻于域Ex0)U,则(P称时,P,)25
8.1 多元函数的极限与连续
lim f ( x, y)
( x, y )( x0 , y0 )
说明
E {( x, y) ( x, y)具有性质P}.
4
8.1 多元函数的极限与连续
邻域 (Neighborhood)
R2
设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, 0, 令
U (P0 , ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 }
它是以P0为中心、以 为半径的开圆 (“开”意味着
U(P , )内总有E中的点 (P本身可属于E, 也可不属
于E ), 则称P是E的聚点. 聚点从直观上讲: 这点附近有无穷多个E的点.
例如, 设点集 E {( x, y)1 x2 y2 2}, 点P( x0, y0 ) R2, 若 1 x02 y02 2, 则P为E的内点;