均值(概念要点)
1. 集中趋势的测度值之一 2. 最常用的测度值 3. 一组数据的均衡点所在 4. 易受极端值的影响 5. 用于数值型数据，不能用于类别数据和
顺序数据 6. 用以度量连续变量次数分布的集中趋势及位置。
三、算术平均数的特点
1、观测值的总和等于算术平均数的N倍，即：
XN•X
2、各观测值与其算术平均数之差（称为离均差）的 总和等于零。即： N
二、加权平均数 一）定义及适用条件
有些测量中所得数据，其单位权重并不相等。这时若要 计算平均数，就不能用算术平均数，而应该使用加权平均数。
加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数。用 Xw表示。
所谓权数，是指各变量在构成总体中的相对重要性。每 个变量的权数大小，由观测者依据一定的理论或实践经验而 定，虽然是可变的，但绝不是没有根据的。
i1
XC
N
N
N
4、给一组数据中的每一个数乘上一个常数C，则
得到的新数组的平均数为原来数组的平均数乘以常
数C。
记:Yi CXi 则:YCX
N
N
N
Yi CXi CXi
证:Y i1 i1
i1 CX
N
N
N
5、若一组观测值是由两部分（或几部分）组成，
这组观测值的算术平均数可以由组成部分的算 术平均数而求得。
N＝Na+Nb ∑X＝∑Xa+∑Xb
XXaXb
N
N
X Na Xa Nb Xb Na Nb
算术平均数的上述几个特性在以后的许多问题中 都用得到。
均值(数学性质)
6. 各变量值与均值的离差平方和最小
n
(Xi X)2 min
i1
四、算术平均数的应用、优缺点及适用条件
算术平均数是应用最普遍的一种集中量数。 它在大多数情况下是“真值”渐近、最佳的 估计值。
加权平均数用于： ①小组平均求总平均，如：分组数据求总平均 ②各个数据的份量不一样。
二）计算公式 P37
k
nj X j
Xw
j1
nt
在教育工作中，我们时常遇到对测量数据进行 加权的情况。如：
在考试时教师共出10道考题。由于各题的 大小不同，难易程度不同，在满分为100的条 件下，绝不能每题都以10分以满分，而是有 的题5分，有的10分、20分、甚至30分。
它是指某变量的各值求和后再平均，是统计学中最容 易理解最常用的一种集中量指标。是度量连续变量次数分 布集中趋势及位置的最常用的集中量数。
N
Xi
X i1 N
样本的平均数多用 X 表示,
若指总体的平均数则用μ,此时常称均值，不过总体的均 值我们常常是不知道的，统计的目的就是通过样本的平均 去推断总体均值的大小。
第一节 算术平均数
本节内容 一、平均数的计算方法 二、平均数的特点 三、平均数的意义 四、平均数的优缺点 五、计算和应用平均数的原则
第一节 算术平均数
一、算术平均数的概念
算术平均数是指所有观察值的总和除以总频数所得的 商，简称平均数或均数（Mean）。（只有在与其他几种 集中量如几何平均数、调和平均数、加权平均数相区别的 时候，才把它叫做算术平均数）。
X乙
i=1 fXi n
0×8+20×1+100×1 10
12（分）
例：已知各班期末考试成绩如下，试计算总
平均数。
解：由题而知，该题要 求计算加权平均数。以 人数作为权重，代入公 式即可。
班次
1 2 3 4 5 6 7 8
人数
53 47 49 51 50 50 52 48 400
平均成绩
91.06 91.06 89.00 85.80 85.80 84.69 86.52 87.13
(Xi X) 0
i1
N
记:xi Xi X 则: xi 0 i1
N
N
N
N
证:xi (Xi X)Xi XNXNX0
i1
i1
i1
i1
3、给一组数据中的每一个数加上一个常数C，则
所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数加上
常数C。
记:Yi Xi C 则:YXC
N
N
N
Yi (Xi C) Xi NC
证:Yi1 i1
加权均值(权数对均值的影响)
甲乙两组各有10名学生，考试成绩及其分布数据如下
甲组： 考试成绩（X ）: 0 20 100 人数分布（F ）：1 1 8
乙组： 考试成绩（X ）: 0 20 100 人数分布（F ）：8 1 1
X甲
i=1 fXi c n
0×1+20×1+100×8 10
82（分）
类似的情况还有很多。如，用同一道题目测不同年龄的儿童 ，其得分不应相同；对难易度不同的几次考试，不应在计算总平 均数时，使用相同的权重。
由各小组平均数计算总平均数是 应用加权平均数的一个特例。在心理 与教育研究中，经常会遇到由各个平 均数计算总平均数这类实际的统计计 算问题。在这个问题中，可以把各小 组的平均分数，视为该小组每个个体 的分数，而把每个小组的人数，视为 权数。例P37
集中量数含义、计 算方法和应用
[教学目标]
理解各种集中量数的含义、性质和作用； 熟练掌握集中量数的计算方法；恰当地应用 集中量数描述一组数据的集中趋势。
[学习重点]
各种集中量数的概念和性质；各种集中 量数的计算方法；各种集中量数的具体应用。
第一节 集中量数
[主要内容】
算术平均数 加权平均数 几何平均数 中数与众数
再如高校入学考试的几门成绩的总分也是 不同的。这也是考虑到各门学科的相对重要 性而进行加权的结果。
加权的道理不难理解，但有时却容易被人忽略。 如：有人在研究学生的思维能力时，用一些几何题目测验学
生，指标是每题用一个解法作出就给一分，用两种解法作出来就 再加一分，给两分，如此类推。然后用每个学生得分多少比较各 人的差异。这里就产生了一个问题：这些分数是等距的吗？如果 一个学生对很多题目作不出，但对于某些题目却能用多种方法作 出，远远地超过他人，从得分总数看，虽然可能仍低于他人，但 你能据此说他的思维能力不如别人吗？显然不能。这里的问题就 在于每使用一种解题方法，不应该得相同的分数，而是应该考虑 加权。但权数是多少？那要根据经验或理论进行分析。
一）算术平均数的优点：
1、反应灵敏。 2、确定严密。 3、简明易懂。 4、计算简单。 5、符合代数方法进一步运算。 6、受抽样变动的影响较小。
（一）算术平均数的优点：
2、除此之外，算术平均数有几个特殊的优点
（1）只知一组观察值的总和及总频数，就可以求出算术平 均数。