一、单项选择题 共 32 题1、 若A 为4阶方阵,且|A|=5，则|3A|=( )。

A . 15B . 60C . 405D . 452、 下列命题中正确的是（ ）。

A .任意n 个n +1维向量线性相关；B . 任意n 个n +1维向量线性无关；C . 任意n + 1个n维向量线性相关；D . 任意n + 1个n 维向量线性无关. 3、 方阵A 满足A3=0，则(E+A+A 2)(E-A)=（ ）。

A . EB . E-AC . E+AD . A4、A . 解向量B . 基础解系C . 通解D . A 的行向量5、 n 维向量组α1,α2,…αs （3≤ s≤ n ） 线性无关的充要条件是α1,α2,…αs 中（ ）。

A . 任意两个向量都线性无关B . 存在一个向量不能用其余向量线性表示C . 任一个向量都不能用其余向量线性表示D . 不含零向量6、 对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是 （ ）。

A . 两矩阵的特征值相同；B . 两矩阵的秩相等；C . 两矩阵的特征向量相同；D . 两矩阵都是方阵。

7、 设λ=-3是方阵A 的一个特征值，则A 可逆时，A -1的一个特征值是 （ ）。

A . -3B . 3C .D .8、一个四元正定二次型的规范形为（）。

A .B .C .D .9、设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（）。

A . |A|=0B . |E+B|=0C . |A|=0 或|E+B|=0D . |A|=0且|E+B|=010、矩阵A的秩为r，则知（）。

A . A中所有r阶子式不为0；B . A中所有r+1阶子式都为0；C . r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0；D . r-1阶子式都为0。

11、设A是m×k矩阵, B是m×n矩阵, C是s×k矩阵, D是s×n矩阵,且k≠n, 则下列结论错误的是（）。

A .B T A是n×k矩阵B .C T D是n×k矩阵C . BD T是m×s矩阵D . D T C是n×k矩阵12、设A , B均为n 阶方阵, 下面结论正确的是（）。

A . 若A ,B均可逆, 则A +B 可逆B . 若A ,B均可逆, 则AB 可逆C . 若A + B可逆, 则A- B 可逆D . 若A + B可逆, 则A, B均可逆13、设A为三阶方阵，且A2=0，以下成立的是（）。

A . A=0B . A3=0C . R(A)=0D . R(A)=314、t满足（）时，线性无关。

A . t≠1；B . t=1 ；C . t≠0；D . t ＝0.15、 设 α1,α2,…,αs 为n 维向量组, 且秩R(α1,α2,…,αs )=r ，则（ ）。

A . 该向量组中任意r 个向量线性无关；B . 该向量组中任意 r+1 个向量线性相关；C . 该向量组存在唯一极大无关组；D . 该向量组有若干个极大无关组. 16、 设 λ =－4 是方阵A 的一个特征值, 则矩阵A －5E 的一个特征值是（ ）。

A . 1B . －9C . －1D . 917、 若C=AB ，则（ ）。

A . A 与B 的阶数相同;B . A 与B 的行数相同;C . A 与B 的列数相同;D . C 与A 的行数相同。

18、 A *是A 的伴随矩阵，且|A |≠0，刚A 的逆矩阵A -1=（ ）。

A . AA *B . |A |A *C . ；D . A'A *19、 A *是A 的n 阶伴随矩阵，且A 可逆，刚|A *|=（ ）。

A . |A| ；B . 1；C . |A|n-1D . |A|n+120、 设A ，B ，C 为同阶矩阵，若AB ＝AC ，必推出B ＝C ，则A 应满足条件（ ）。

A . |A|≠0B . A ＝OC . |A|＝0D . A≠021、 设 A 、B 为n 阶方阵，则（ ）。

A .B .C .D . AB = O 时，A = O 或B = O22、当（）时，A =是正交阵。

A . a = 1, b = 2, c = 3B . a = b = c = 1C .D .23、在下列命题中，正确的是（）。

A .B . 若A B，则；C . 设A,B是三角矩阵，则A+B也是三角矩阵；D .24、如果两个同维的向量组可以相互线性表示, 则这两个向量组（）。

A . 相等B . 所含向量的个数相等C . 不相等D . 秩相等25、设A是sxt矩阵，B是同m×n矩阵，如果AC T B有意义，则C应是（）矩阵。

A . s×nB . s×mC . m×tD . t×m26、设A、B为n阶矩阵，A可逆，k≠0，则运算（）正确。

A .B .C .D .27、设A为3阶方阵，且|A|=2，则|A|-1=（）。

A . 2B . -2C .D .28、设α1,α2,α3是AX = B的三个线性无关的解, 其中A是秩为1的4×3矩阵, B是4维列向量，则下列（）是AX=O的基础解系。

A . α1+α2+α3B . α1+α2－2α3C . α1，α2，α3D . α2－α1，α3－α229、如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（）。

A . 相等；B . 所含向量的个数相等；C . 不相等；D .秩相等。

30、两个n阶矩阵A与B相似的，是指（）。

A . PAP-1=BB . Q T AQ=BC . Q -1AQ=BD . AB=E（Q，P，Q均为n阶可逆方阵）31、A . 1B . -1C . 2D . -232、当A是正交阵时，下列结论错误的是（）。

A . A-1=A TB . A-1也是正交阵C . A T也是正交阵D . A的行列式值一定为1二、计算题共19 题1、计算4阶行列式。

参考答案：2、设,解矩阵方程AX=B 。

参考答案：3、求非齐次线性方程组的解，若有无穷多解时，用基础解系表示其一般解。

参考答案：增广矩阵为：，所以对应的齐次方程的通解为：；非齐次方程的特解为：。

所以原方程的通解为：。

4、设，求A的特征值及对应的特征向量。

参考答案：特征值λ1＝λ2＝λ3＝1.对于λ1＝1，，特征向量为5、化二次型 f=x2+2x2+5x2+2x x+2x x+8x x为标准型。

参考答案：解作变换即则变为为其标准形.6、计算行列式。

参考答案：7、解矩阵方程XA =B ，其中.求X。

参考答案：8、求齐次线性方程组的通解。

参考答案：解:，9、参考答案：解：由，得A的特征值为：。

当时，齐次方程组为,由，解得基础解系为，所以A的属于特征值的全部特征向量为。

当时，齐次方程组为,由，解得基础解系为所以A的属于特征值的全部特征向量为。

参考答案：解：由于中无平方项，故令，代入二次型，得11、计算行列式D = 。

参考答案：解：12、判断矩阵是否可逆？如可逆，求其可逆矩阵。

参考答案：解：因为，所以可逆。

所以。

13、求解线性方程组。

参考答案：14、求矩阵的特征值和特征向量。

参考答案：解：由，得A的特征值为：。

当时，齐次方程组为,解得基础解系为，所以A的属于特征值的全部特征向量为。

当时，齐次方程组为,解得基础解系为所以A的属于特征值的全部特征向量为。

15、计算行列式D=。

参考答案：16、参考答案：解：所以。

17、求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。

参考答案：所以一个极大无关组为，且。

18、设，求A的特征值及对应的特征向量。

参考答案：解：特征值λ1＝5，λ2＝λ3＝－1.对于λ1＝5，，特征向量为对于λ2＝-1，，特征向量为.19、将二次型f(x,x,x)=x+4x x-4x x+2x-4x x-x化为标准型。

参考答案：解：1、参考答案：42、，当t=______时，R(A)=2。

参考答案：-43、设A=，则A-1=______。

参考答案：4、线性方程组的系数满足______时，方程组有唯一解. 参考答案：ad≠bc参考答案：7、行列式D=的转置行列式D T=______ 。

参考答案：D T=8、8级排列36215784的逆序数为τ(36215784)=______。

参考答案：109、设A=，则A-1=______。

参考答案：10、若A=，则R(A) =______。

参考答案：311、设向量组，，，，则向量组α1,α2,α3,α4线性_______（填线性相关或线性无关）。

参考答案：线性相关12、当t 满足条件______，使二次型f=x12+2x22+3x32+2x1x2-2x1x3+2tx2x3是正定的。

参考答案：13、若行列式，则x=______。

参考答案：-514、排列36i15j84在i=_____,j=______时是奇排列。

参考答案：7，215、A*是A的伴随矩阵，且A可逆，则(A*)-1=______。

参考答案：16、若A=，则R(A) =______。

参考答案：217、设α=(1 1 0),β=(0 3 0),γ=(1 2 0),则3α+2β-4γ=_______。

参考答案：(-1 1 0)18、二次型f(x,y)=2x2-xy-y2的系数矩阵是______。

参考答案：19、若，则x=______。

参考答案：520、参考答案：21、设A为三阶矩阵且|A|＝2，则|4A|＝______ 。

参考答案：12822、k满足______时，线性方程组只有零解。

参考答案：k≠－2且k≠123、单独一个零向量必线性_______，单独一个非零向量必线性_______。

参考答案：相关，无关24、二次型 f(x,y)= x2-4xy+y2 的系数矩阵是。

参考答案：四、证明题共 5 题1、若A是可逆的对称矩阵，则A-1也是对称矩阵；若A是可逆的反对称矩阵，则A-1也是反对称矩阵。

参考答案：证明：因为 A T=A，那么(A-1)T=(A T)-1=(A)-1 ,所以A-1也是对称矩阵。

因为A T=-A ,那么(A1)T=(A T)1=(-A)1=-A1 ,所以A-1也是反对称矩阵。

2、设向量组α1,α2,α3线性无关，证明：向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关。

参考答案：3、计算行列式：参考答案：4、如α1,α2,α3,…αt向量组线性无关，试证明：向量组α1,α1+α2,α1+α2+α3, … ,α1+α2+…+αt 线性无关。

证明：假设向量组α1,α1+α2, … ,α1+α2+ …+αt 线性相关，那么存在不全为0的数k1，k2，…k t，使得：k1α1+k2(α1+α2)+…+k1(α1+α2+ …+αt )=0 ，所以：k1α1+k2α1+k2α2+…+k1α1+k1α2+ …+k tαt =0；即：（k1+k2+…+k t）α1+(k2+…+k t)α2+……+k tαt=0 。