2EI
y u0 ,
y2 M x2 2EI

x

v0。
(d)
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例1:如图简支梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
解：在铰支座O没有水平和铅直位移，在连杆支座A没有铅直位移.
则约束条件为: (u)x0 0, (v)x0 0, (v)xl 0.
1. 弯应力 σx与材料力学的解相同。
2.
铅直线的转角


u y
M EIx Nhomakorabea ,
故在同一横截面上，x是
常数，因而β也是常数。可见:同一横截面上的各铅直线
段的转角相同，说明横截面保持为平面，即平面截面假
设成立。
3.不论约束情况如何，梁的各纵向纤维的曲率为：
1 2v M

x2 EI
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例4 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
察应力函数 Φ

F 2h3
xy(3h2

4 y2 )能解决什么
样的受力问题？
o
h/2
h/2
x
l y
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。 1. 将 Φ代入相容方程，可见 4Φ 0 是
满足的。
对于单连体，(c)通常是自然满 足的。只须满足(a),(b)。
由Φ
求应力的公式是
σ
x

2Φ y 2

f
x
x,
σ
y

2Φ x 2

f
y
y,
τ
xy

2Φ xy
.
（d）
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。步骤:
⑴ 先找出满足4Φ 0 的解 Φ;
第三章 平面问题的直角坐标解答
第三章 平面问题的直角坐标解答
第三章 平面问题的直角坐标解答
第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答 第二节 矩形梁的纯弯曲 第三节 位移分量的求出 第四节 简支梁受均布荷载 第五节 楔形体受重力和液体压力
第三章 平面问题的直角坐标解答
按Φ 求解
§3-1 逆解法和半逆解法 多项式解答
EI
2EI
2EI
梁轴的挠度为：
(v) y0


M 2EI
(l

x)2
第三章 平面问题的直角坐标解答
归纳：由应力求位移步骤： 1. 由物理方程求出形变；
2.代入几何方程，积分求 u, v ；
3.由边界约束条件确定刚体位移分量 u0 , v0 , 。
第三章 平面问题的直角坐标解答
纯弯曲问题的讨论：
臂梁在小边界（x=0）处受集中力F作用的问题。
(a)
O
y
(b)
FO
y
x x
x 0(负x面), x l(正x面),
F
f x (σ x )x0 0,
fy

( xy ) x0

3F 2h
(1
4
y2 h2
);
fx

(σ x )xl

12Fl h3
y,
fy

( xy ) xl
最终得应力解
σx
12M h3
y

M I
y,
σ y xy 0. (e)
当l h 时，即使在 x 0,l 边界上面力不同于 σ x的
分布，其误差也仅影响梁的两端部上的应力。
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-3 位移分量的求出
在按应力求解中，若已得出应力，如何 求出位移？
以纯弯曲问题为例，已知
还须满足位移单值条件）。
如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-2 矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单位宽度， 与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。求矩形梁 受纯弯曲时的应力分量？
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
1. 当体力为常量，按应力函数Φ 求解平面 应力问题时，Φ 应满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
（a）(a)
⑵ S = S 上应力边界条件,
l x m yx

s
fx,
m y l xy

s
f y .（b(）b)
⑶ 多连体中的位移单值条件。 （c）
第三章 平面问题的直角坐标解答
( xy ) x0,l 0,
满足。
(c)
σx 的边界条件无法精确满足。
第三章 平面问题的直角坐标解答
次要边界
用两个积分的条件代替
h/2 h / 2
(σ x
) x 0,l
d
y
1

0,


(d)
h/2 h / 2
(σ x
) x 0,l
y

d
y
1

M。
式(d)的第一式自然满足，由第二式得出 a2M /h3。

v0。
(d)
3.待定的刚体位移分量为 u0 , v0 .
刚体位移分量须由边界约束条件来确定。
第三章 平面问题的直角坐标解答
学生自己做
求位移
例1:如图简支梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
u v

M xy EI
M
v x

u y
xy
0。
(b) (c)
⑵ 对式(b)两边乘 d y 积分 , 得
v

M
2 EI
y2

f2 ( x)。
⑶ 将u、v再代入(c) , 并分开变量，得
Mx d f2 (x) d f1( y) ( )。
EI d x
dy
上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都
逆解法
下面先以逆解法求出几个简单的平面问题，应力函数取为多项式。
例1 假定体力不计。则一次式 Φ ax by c 对应于无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力。
不论各系数取何值，相容方程都能满足。由式（2-24）得 应力分量为： x 0, y 0, xy 0. 不论弹性体为任何形状，也不 论坐标如何选取，由应力边界条件可得出：f x 0, f y 0.
2. 由 Φ求出应力分量
σ
x

2Φ y 2

12Fxy h3
,
σ
y

2Φ x 2
0,

xy


2Φ xy

3F 2h
(14
y2 h2
).
第三章 平面问题的直角坐标解答
3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。
在主要边界（大边界）y h / 2上，
σ y 0, yx 0.
u M x l y, v M (l x)x M y2.
EI 2
2EI
2EI
梁轴的挠度为：
(v) y0
M (l x)x 2EI
与材料力学结果相同。
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例2:如图悬臂梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
y0
y0
y0
代入u，v表达式得:
u0 0,
v0 0,

Ml 2 2EI
l

v0

0
(



Ml 2EI
).
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例1:如图简支梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
解：求出各个常数，代入式(d)，得到该简支梁的位移分量为:
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
u v

M xy EI
M
2EI
y u0 ,
y2 M x2 2EI

x

v0。
(d)
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例2:如图悬臂梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
A
x
M
y
l
( l >>h)
x

M EI
y,
(a)
v y
y


M
EI
y,
(b)
v x

u y

xy

0。
(c)
求形变
第三章 平面问题的直角坐标解答
求位移
⑴ 对式(a)两边乘 d x
积分,得
u x
x

M EI
y,
(a)
u
M EI
xy