例3 设一半径为 r 的圆弧形导线,均匀带电,电荷
密度为 ,在圆心正上方距圆弧所在平面为 a 处有
一电荷为 q 的点电荷. 试求圆弧形导线与点电荷之
间的作用力.
解 把点电荷置于原点，z轴垂直向下，圆弧形导线
置于水平面 z a上. 根据
库仑定律，电量为q1 , q2
的两个点电荷之间
O g dFt
dFz dF
P
3
2 x
9 x2dx 18 .
0
=g (比重=重力加速度 密度）
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§5 定积分在物理中的应用
液体静压力
引力
注 当桶内充满液体时, 小狭条上的压强为
静压力 dP 2(R x) R2 x2 dx ,
故闸门所受静压力为
功与功率
4R R R2 x2 dx 0
的作用力为
F
kq1q2
2
.
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r ag d
z
§5 定积分在物理中的应用
液体静压力
引力
功与功率
其中 为两点电荷之间的距离,k 是库仑常数.
把中心角为 d 的一小段导线弧看作一点电荷,其
电量为
dQ ds rd.
O g dFt
dFz dF
它对点电荷 q 的作用力为
dFy
dF
量为 m 的质点,试求细杆对 l / 2
O
质点的引力.
x l/2 x xdx
解 建立直角坐标系如图所示. 细杆位于 x 轴上的
l 2 ,l 2, 质点位于 y 轴上点 a .
任取
[ x , x Δx ] l 2 , l 2
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§5 定积分在物理中的应用
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§5 定积分在物理中的应用
液体静压力
引力
功与功率
由于在相同深度处水的静压强相同, 其值等于水的
比重与深度的乘积, 故当 Δx 很小时, 从深度 x 到 x
+dx 的狭条 ΔA 上所受的静压力为
Δ P dP x 2 9 x2dx,
而总静压力为各狭条所受的静压力之和, 因此
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§5 定积分在物理中的应用
液体静压力
引力
而 因此
dV
π 151
x 10
2
dx,
dW
π
x
15
1
x 10
2
dx
,
于是求得
W
225π
10 0
x
1
x 10
2
dx
1875π ( KJ ).
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功与功率
§5 定积分在物理中的应用
W
I
2 0
R
T sin2 t dt,
0
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T 2 ,
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§5 定积分在物理中的应用
液体静压力
引力
功与功率
功与功率
例4 一圆锥形水池, 池
口直径 30 米, 深 10米, 池中盛满了水. 试求将 全部池水抽出池外需作 的功? 解 如图建立直角坐标系.
O
15 y
x x+Δx
10
x
将池中深度为 x 到 x + Δx 的一薄层水抽到池口
所作的功 W 的微元为 dW xdV (KN).
力 dFt 互相抵消.而
dFz dF cos
a dF a2 r2
k raq(a2 r 2 )3 2d .
于是垂直方向的总合力为
O g dFt
dFz dFr ag dFra bibliotekFz
2 0
dFz
2 k raq
(a2 r 2 )3 2
.
z
这就是圆弧形导线与点电荷之间作用力的大小.
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液体静压力
引力
功与功率
则其质量微元为 dM M dx. l
它对质点 m 的引力为
线密度
dF
kmdM r2
km a2 x2
M l
dx.
由于细杆上各点对质点m的引力方向不同, 因此不
能直接对 dF 积分, 为此将 dF 分解到 x 轴和 y 轴
两个方向上, 得
由 cos
dFx
sin
a
dF , dFy cos dF .
得垂直方向总合力为
a2 x2
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液体静压力
引力
功与功率
Fy
l
2 l
dFy
2
l 2
kmMa
0l
a2 x2 3 2 dx
2
l
2kmMa l
1 a2
x2 a2 x2
0
2kmM . a 4a2 l 2
负号表示合力与 y 轴方向相反.
sin
x a2
x2
是
l 2
,
l 2
上的奇函数,
l
故
Fx
2 l
dFx
=0
故dF细杆a对2km质x2点2 的Ml 引dx力. d大F小y 为cosF
dF2kmM a a 4a2 a2l 2
. x
2
dF
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§5 定积分在物理中的应用
液体静压力
引力
功与功率
§5 定积分在物理中的应用
液体静压力
引力
功与功率
液体静压力
例1 如图所示为管道 的圆形闸门(半径为 3 米). 问水平面齐及直 径时,闸门所受到的水 的静压力为多大(设水
的比重为 )？
O
x
x dx
3 x
y
A
解 取圆心为原点, 建立坐标系如图.
此时圆的方程为 x2 y2 9.
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W
I
2 0
R
T sin2 t dt,
0
于是,平均功率为:
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液体静压力
引力
P W
I
2 0
R
T sin2 t dt
T 2 0
I02R
2 sin2 sds
I
2 0
R
2 1 - cos2sds
2 0
4 0
1 2
I
2 0
R.
功与功率
液体静压力
引力
功与功率
例5 求交流电 I (t ) I0 sint 的平均功率,其中 I0
表示电流的最大值.
解 显然,只须计算在一个周期上的平均功率. 这时
周期
T
2
,
功率Pt
I 2R
I02 R sin 2
t ,
其中
R是所使用的电器的电阻. 从时刻t到时刻t t
所作功的微元为 I02Rsin2 tdt. 一个周期所作功为
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§5 定积分在物理中的应用
定积分在物理中 有着极其广泛的应用.在 物理问题中, 常遇到的物 理量具有连续性与可加性.
要求出某物理量 , 重要 的是找到d f ( x)dx,
然后应用微元法化为计算
b
a f ( x)dx.
一、液体静压力 二、引力 三、功与功率
*点击以上标题可直接前往对应内容
dF
kqdQ
2
k rq
a2 r2
d .
r ag d
z
把 dF 分解为 z 轴方向的分力 dFz 和水平方向的分
力dFt . 由于点电荷位于圆弧形导线的对称轴 Oz上，
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液体静压力
引力
功与功率
且导线上的电荷密度恒为常数，因此水平方向分
奇函数
( x Rsin t)
4R x R2 x2 R2 arcsin x R
2
2
R0
R3
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O
x
y
xdx
R
x
§5 定积分在物理中的应用
引力
液体静压力
例2 一根长为 l 的均匀细
引力
y
功与功率
杆, 质量为 M, 在其中垂线
a
dFx
上相距细杆为 a 处有一质