应用数学习题集第二章导数及其应用一. 选择题1．若 f ( x) 在x0处可导，则以下结论错误的是（D）。
A f ( x) 在x0处有极限；B f ( x) 在x0处连续；C f ( x) 在x0处可微；D f '( x )lim f (x) 必成立。
x x2．若 f ( x) 在x0处可导，则（B）是错误的。
(02-03 电大试题 )A 函数f ( x)在点 x 0处有定义；B lim f ( x) A ，但A f (x0 ) ；x x0C 函数f ( x)在 x 0处连续；D函数 f ( x) 在x0处可微。
3． f (x) 在x0处不连续，则 f (x) 在x0处（A）A 必不可导；B 有时可导；C 必无定义；D 必无极限。
4．函数 f ( x) =|2x|在x=0处的导数（D）。
A等于 0 ；B等于 2 ； C 等于 -2 ；D不存在。
5．函数 f ( x) =|sinx|在点 x=0处的导数（D）。
A等于 -1 ；B等于 0 ； C 等于 1；D不存在。
6 ．y ln | x |，则 y ’= （ B）。
A1；B 1 ；C 1 ；D 1 。
| x |x x| x |7．曲线 y=sinx在点 (0,0)处的切线方程是（C）。
A y=2xB y 1 xC y=xD y=-x28． f (x)x cos x，则 f " ( x) =（D）。
(02-03电大试题 )A cosx+xsinxB cosx-xsinxC2sinx+xcosx D -2sinx-xcosx9．函数中在 [1 ， e] 上满足 Lagrange定理条件的函数是（B）。
A y=ln(lnx)；B y=lnx；C y=1；D y=ln(2-x)。
ln x10 ．若f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导，Lagrange定理的结论是至少存在一点ξ，使（ A ）。
A f ' ( ) f (b) f (a)；B f '()；b af (b) f (a) 。
C f (b) f ( a) f ' ( )(b a) ；D f '()11 ．f ' ( x0)0 ，则x0是函数 f ( x) 的（ D ）。
(02-03电大试题 )A. 极大值点；B. 最大值点；C. 极小值点；D. 驻点。
12 ． x 0是连续函数 f ( x) 在(a,b)内的极小值点，则（C）。
A 必有f '( x0)0；B f ' (x0 )必不存在；C f ' (x0)0 或 f ' (x0 ) 不存在；D x ∈(a,b)时，必有 f ( x) f ( x0 ) 。
13 ． y=arctane x，则 dy=（ C ）。
Ae x；B1；Ce x dx；Ddx。
1 e2 x 1 e2 x 1 e2x 1 e2 x14 ．设f (x)x cos x2，则 f ' (x) =（C）。
A 1-sinx 2 ；B 1+sinx 2 ；C 1-sinx2·2x ；D (1-sinx2 ) ·2x 。
15 ．设f (t )t，则 f '( t ) =（B）。
t 21A 1；B t 21；C3t 21；D t 2 1 。
2t(t 21) 2(t 21) 2t 2116 ．lim axx a( a0) 的值是（D）。
x a x aA 0 ；B 1 ；C ∞；D a a( ln a 1)。
17 ．若 x 1与 x2分别是函数 f ( x) 在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，则（ D ）必成立。
A f (x1) f (x2 ) ；B f '( x1 ) f '( x2 ) 0 ；C对 x ∈ (a,b)，f x f(x1) ，f ( x) f (x2 )； Df '( x1 )、f '( x2 )可能为0 ，也可能不存在。
( )18若 lim f ( x) f ( x0 ) 1 ，则 f ( x0 ) 一定是 f ( x) 的（D）。
(x x0 )2x x0A 最大值；B 极小值；C 最小值；D 极大值。
二. 填空题：1 ．已知f ( x) =lnx ，则lim0ln( x x)ln x =1。
x x x2．若函数 y ln 3 ，则y’= 0。
3．曲线 y=x3 +4在点 (0,4)处的切线平行于x 轴。
4．抛物线 y=x 2在点 (1/2,1/4)处的切线的倾斜角是45 °。
5．已知 f ( x) =x·sinx，则 f " ( ) = 2。
6．方程 e xy xy 所确定的隐函数的导数dy =y 。
dx x7．若函数 f ( x) 在x=0处可微，则 lim f (x) = f (0)。
x08． d ln(sin x) =cot xdx。
9． d ln(cos x) =tanxdx 。
10． d(sin e x )e x cose x dx 。
11．半径为 x 的金属圆片，面积为 S(x) 。
加热后半径伸长了△ x，应用微分方法求出△S ≈ S’(x) △ x。
12． lim ln x0。
e xx13．函数 y=arctan(x2 +1) 的递增区间是(0 ,) 。
14．函数 y=ln(2x4+8) 的递减区间是(, 0)。
15．函数 y=sinx-x在其定义域内的单调性是单调减少。
16．极值存在的必要条件：如果 f ( x) 在点x0处取得极值且在点x0处可导，则f ( x)0。
17．若函数 f ( x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内 f'( x)0 ，则函数的最小值为 f (b) 。
18．设函数 y f ( x) 二阶可导，若 f '( x0 )0、 f " ( x0 ) 0 ，则 f (x0 ) 是 f (x) 的极大值。
19．已知生产某种产品的成本函数为 C (q)802q ，则产量 q50 时，该产品的平均成本为3.6。
20．微分近似计算函数值公式 f ( x x) f ( x) f '( x) x 。
三、解答题：1 ．求函数y11的导数。
x1x1解：因为 y1x 12，所以11x 1xy '2(1)2。
(1x) 2(1 x)22 ．求函数yln x的导数。
sin x(ln x)' sin x ln x(sin x)'1sin x ln xcos xxln x cos x解：y'x sin xsin 2x sin 2 x。
x sin 2 x3 ．求函数y x e x cos x 的导数。
解： y'e x cos x xe x cos x xe x sin x e x (cos x x cos x x sin x) 。
4．求方程解：曲线y x 2在点 (3, 9) 处的切线方程。
y x2在点 (3, 9) 处的切线的斜率为y x2在点 (3, 9) 处的导数因为 y' |x32x |x 3 6 ，所以切线的方程为y96( x3)即6x y905 ．求函数y sin 2x cos 2x 的导数。
解： y' 2 sin x(sin x)' cos2x sin 2x( sin 2x) 22sin x cos x cos2 x 2 sin 2xsin 2x2 sin x(cos x cos2 x sin x sin x2x) 2sin x cos3x。
6 ．求函数y ln tan x的导数。
12x111解： y'sec2x 。
x22x sin xtan 2 sin cos2227 ．求函数y1的导数。
cos n xn sin x 解：y'(cos n x)'ncos n 1 x(cos x)'。
cos n 1 x 8 ．利用对数求导法求函数y (cos x) sin x的导数。
解：两边取自然对数，得ln y sin x ln cos x两边对 x 求导，得y' cos x ln cos xsin xy sin xcos xy'y(cos x ln cos x sin x tan x) (cos x)sin x (cos x ln cos x sin x tan x) 。
9 ．利用对数求导法求函数y(sin x) ln x 的导数。
解：两边取自然对数，得ln y ln xln sin x两边对 x 求导，得y' 1ln sin x ln x cos x y xsin xy'y1ln sin x ln x cot x(sin x)ln x1ln sin x ln x cot xxx10 ．求方程 x yy x 所确定的隐函数的导数 dy 。
dx 解：两边取自然对数，得y ln xx ln y两边对 x 求导，得y' ln xy1ln y x y'xy 整理，得dy y(x ln y y)dxx( y ln x 。
x)11 ．求方程 arctanylnx 2 y 2 所确定的隐函数的导数 dy 。
xdx 解：两边对 x 求导，得1y' x y12x 2 yy'1y 2 x 2x 2 y 2 2 x 2 y 2x整理，得dy x ydx x。
y12 ．求方程 xe yye x 所确定的隐函数的导数 dy 。
解：两边对 x 求导，得dxe yxe y y' y' e x ye x整理，得13 ．己知函数dy e y ye x dxe xxe yy xe x ，求 y (n) 。
解：因为 y'e xxe x e x (x 1) ，y' ' e x (x 1) e x e x (x 2) ，y' ' ' e x (x 2) e xe x (x 3) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯所以，y (n)e x (x)n14 ．已知 y (n 2)x ，求 y (n ) 。
ln xln xx 1解： y( n 1)x ln x 1，ln 2 xln 2x1 ln2 x (ln x 1)2 ln x 1 2 ln xy( n)xxln 4 x。
x ln 3 x15 ．求函数 yarcsin x 的微分。
解： d yd(arcsinx)1 d( x )dx1 2 。
xx(1 x)16 ．求函数 ye cot x 的微分。
解： d y d(e cot x ) e cot x d(cot x) e cot x csc 2 xdx 。
17 ．半径为 10cm的金属圆片，加热后半径伸长了0.05cm，求所增加面积的精确值与近似值。