考研数学三（线性代数）-试卷15
(总分：64.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：10，分数：20.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________
2.设A为3阶非零矩阵，且满足a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中A ij为a ij的代数余子式，则下列结论：
①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A是正交矩阵．其中正确的个数为 ( )（分数：
2.00）
A.1
B.2
C.3
D.4
3.设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中：①若A可逆，则B可逆；②若A+B可逆，则B可逆；
③若B可逆，则A+B可逆；④A－E恒可逆．正确的个数为 ( )（分数：2.00）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.已知 2.00）
A.t=6时P的秩必为1
B.t=6时P的秩必为2
C.t≠6时P的秩必为1
D.t≠6时P的秩必为2
5.设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）
A.若｜A｜＞0，则｜B｜＞0
B.如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E
C.如果A≌E，则｜B｜≠0
D.存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B
6.设 2.00）
A.1
B.3
C.1或3
D.无法确定
7. 2.00）
A.AP 1 P 2 =B
B.AP 2 P 1 =B
C.P 1 P 2 A=B
D.P 2 P 1 A=B
8.设 2.00）
A.A －1 P 1 P 2
B.P 1 A －1 P 2
C.P 1 P 2 A －1
D.P 2 A －1 P 1
9.设A是n 2.00）
A.(－2) n｜A｜n
B.(4｜A｜) n
C.(－2) 2n｜A *｜n
D.｜4A ｜n
10.设(P －1 ) 2016 A(Q 2011 ) －1 2.00）
A.
B.
C.
D.
二、填空题(总题数：6，分数：12.00)
11.已知A 2－2A+E=O，则(A+E) －1 = 1．（分数：2.00）
填空项1:__________________
12.设A是n阶矩阵，｜A｜=5，则｜(2A) *｜= 1．（分数：2.00）
填空项1:__________________
13.设 2.00）
填空项1:__________________
14.设 2.00）
填空项1:__________________
15.已知A,B均是3阶矩阵，将A中第3行的－2倍加到第2行得矩阵A 1，将B中第1列和第2列对换得
到B 1，又A 1 B 1 2.00）
填空项1:__________________
16.设 2.00）
填空项1:__________________
三、解答题(总题数：16，分数：32.00)
17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）
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18.证明：方阵A是正交矩阵，即AA T=E的充分必要条件是：(1)A的列向量组组成标准正交向量组，即
或(2)A的行向量组组成标准正交向量组，即 2.00）
__________________________________________________________________________________________ 19.证明：n＞3的非零实方阵A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则A是正交矩阵．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 20.证明：方阵A是正交矩阵的充分必要条件是｜A｜=±1，且若｜A｜=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式；若｜A｜=－1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘－1．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 21.设α=[a 1，a 2，…，a n ] T，β=[b 1，b 2，…，b n ] T≠0，且αTβ=0，A=E+αβT，试计算： (1)｜A｜；(2)A n；(3)A －1．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
22.设A是主对角元为0的四阶实对称阵，E是4阶单位阵， 2.00）
__________________________________________________________________________________________
23.设 2.00）
__________________________________________________________________________________________ 24.A，B均是n阶矩阵，且AB=A+B．证明：A－E可逆，并求(A－E) －1．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 25.设B是可逆阵，A和B同阶，且满足A 2 +AB+B 2 =O．证明：A和A+B都是可逆阵，并求A －1和(A+B) －1．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 26.已知A，B是三阶方阵，A≠O，AB=O．证明：B不可逆．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
27.设A=(a ij ) n×n，且 2.00）
__________________________________________________________________________________________
28.已知n A i i=1，
2，…，n 2.00）
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29.设矩阵A的伴随矩阵A * 2.00）
__________________________________________________________________________________________ 30.设A是n阶可逆阵，将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B．证明：B可逆，并推导A －1和B －1的关系．（分数：2.00）
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31.设A是n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A －1的每行元素之和均为
（分数：2.00）
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32.(1)A，B为n 2.00）
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