专题6.2 立体几何中的向量方法（A 卷基础篇）（浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·全国高二课时练习）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（ ）A ．(1,1,1)-B ．(1,1,1)-C ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】(1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-,设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，化简得00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩， ∴x y z ==，故选C.2．（2020·全国高二课时练习）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定【答案】A【解析】∵空间直角坐标系中，A （1，2，3），B （﹣1，0，5），C （3，0，4），D （4，1，3），∴AB =（﹣2，﹣2，2），CD =（1，1，﹣1），∴AB =﹣2CD ，∴直线AB 与CD 平行．故选A ．3．（2020·全国高二课时练习）已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--，点(,3,0)A x 在平面α内，则点(2,1,4)P -到平面α的距离为103，则x ＝( ) A ．－1B ．－11C ．－1或－11D ．－21【答案】C【解析】 (2,2,4)PA x =+-，而103nd n PA ⋅==， 103=，解得1x =-或－11. 故选：C4．（2020·全国高二课时练习）已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若1cos ,2m n =-，则l 与α所成的角为（ ） A ．030B ．060C ．0120D ．0150 【答案】A【解析】设线面角为θ，则1sin cos ,,302m n θθ=〈〉==. 5．（2020·全国高二课时练习）设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若2,3a n π=，则l 与α所成的角为（ ）A ．23πB ．3πC ．6πD ．56π 【答案】C【解析】结合题意，作出图形如下：因为2 ,3a nπ=，所以3π∠=OAB,所以l与α所成的角为6π∠=OBA.故选:C.6．（2020·全国高二单元测试）如图，在正方体ABCD­1111A B C D中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B1B的中点，F为11A D的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )A ．(1，－2，4)B．(－4,1，－2)C．(2，－2，1)D．(1，2，－2)【答案】B【解析】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），∴AE=（0，2，1），AF =（﹣1，0，2）设向量n=（x，y，z）是平面A EF的一个法向量则2020n AE y zn AF x z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2∴n=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量故选B．7．（2020·全国高二课时练习）设四边形ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF的夹角等于( )A ．45°B ．30°C ．90°D ．60°【答案】D【解析】 以B 为原点，BA 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，BE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图则A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(1,0,1)，所以AC ＝(－1，1,0)，BF ＝(1,0,1)．所以cos 〈AC ，BF 〉＝⋅AC BF AC BF =－12.所以〈AC ，BF 〉＝120°.所以AC 与BF 的夹角为60°. 故答案为：D点睛： 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）,方法二：（向量法）cos m n m n α⋅=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.8．（2020·全国高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，则点1C 到直线CE 的距离为（ ）A ．13B ．33C ．53D ．63【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，如图，则(1,1,0)C ，1(1,1,1)C ，10,,12E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,12EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1(0,0,1)CC =， 所以1CC 在EC 上的投影为123||1114CC EC EC ⋅==-++， 所以点1C 到直线EC 的距离22114||19||CC EC d CC EC ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭53=. 故选：C.9．（2019·绍兴鲁迅中学高二期中）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2AD =，E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是（ ）A ．0B 10C ．22D 15 【答案】A【解析】如图()()()()12,0,40,0,2,2,2,0,0,4,2A E F G ，所以()()12,0,2,2,2,2A E GF =--=--所以异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值110⋅=A E GFA E GF故选：A10．（2020·全国高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1BB 和1DD 的中点，则平面ECF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为（ ）A 3B 6C ．13D ．23【答案】B【解析】以点A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则(0,0,0)A ，(2,0,1)E ，(0,2,1)F ，(2,2,0)C ，∴(0,2,1)CE =-，(2,0,1)CF =-.∴平面ECF 的一个法向量为(1,1,2)n =.设平面ECF 与平面ABCD 的夹角为θ.∵(0,0,1)m =是平面ABCD 的一个法向量， ∴26cos |cos ,|16m n m n m n θ⋅=〈〉===⨯⋅. 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·上海杨浦·复旦附中高二期中）已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______.【答案】直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行【解析】由()12+21+200n AB ⋅=⨯-⨯⨯=，所以n AB ⊥.又向量n 为平面α的一个法向量.所以直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.故答案为：直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.12．（2020·全国高三（理））设正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，则点1D 到平面1A BD 的距离是_______.23 【解析】如图建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)D ，1(2,0,2)A ，(0,0,0)D ，2,20B （，），∴11(2,0,0)=D A ，1(2,0,2)DA =，(2,2,0)DB =， 设平面1A BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =，则(1,1,1)n =--， ∴点1D 到平面1A BD 的距离11||23||33D A n d n ⋅===. 故答案为：233. 13．（2020·陕西临渭·高二期末（理））设(2,2,),(6,4,5)u t v =-=-分别是平面,αβ的法向量，若αβ⊥，则实数t 的值是________．【答案】4【解析】因为(2,2,),(6,4,5)u t v =-=-分别是平面,αβ的法向量，且αβ⊥所以u v ⊥所以()262450t -⨯+⨯-+⨯=解得4t =故答案为： 414．（2019·浙江丽水·高二月考）在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．【答案】90 1【解析】长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，2，0），设E （1，m ，0），0≤m≤2，则1D E =（1，m ，﹣1），1A D =（﹣1，0，﹣1），∴1D E •1A D =﹣1+0+1=0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°．∵1D E =（1，m ，﹣1），EC =（﹣1，2﹣m ，0），D 1E ⊥EC ，∴1D E EC =﹣1+m （2﹣m ）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．15．（2020·全国高二专题练习）已知空间四个点(1,1,1)A ，(4,0,2)B -，(3,1,0)C --，(1,0,4)D -，则直线AD 与平面ABC 所成的角的度数为________，点D 到平面ABC 的距离是________．【答案】30°142【解析】∵(1,1,1)A ，(4,0,2)B -，(3,1,0)C --，(1,0,4)D -，∴(2,1,3)AD =--，(5,1,1)AB =--，2(4,,1)AC =---．设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则50420n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=--+=⎨⋅=---=⎩取1x =，得(1,3,2)n =-设直线AD 与平面ABC 所成的角为θ，则||71sin 142||||419194AD n AD n θ⋅====++⨯++． 又090θ︒<︒，∴30θ=︒，∴直线AD 与平面ABC 所成的角为30°．点D 到平面ABC 的距离114||sin 41922d AD θ==++⨯=． 故答案为：30；14. 16．（2018·浙江衢州·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -中，11114A E AC =，异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值是__________；若1BE xAB yAD zAA =++，则x =__________． 【答案】26 34- 【解析】如图建立空间坐标系，设正方体棱长为4易得：()A 4,0,0，()3,1,4E ，()00,0B ，，()14,4,4D ∴()AE 1,1,4=-，()14,4,4BD =∴异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值是4416261116161616-++=++++ 由1BE xAB yAD zAA =++可得：()()()()3,1,4x 4,0,0y 0,4,0z 0,0,4=-++ 即34x =-，∴34x =- 故答案为26，34- 17.（2018·浙江高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1CD 的所成角为_____，二面角1B A C D --的大小为_____．【答案】60︒ 60︒；【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为1，则11101000010001110A D C D B （，，），（，，），（，，），（，，），（，，）， 11101011A D CD =--=-（，，），（，，）， 设异面直线A 1D 与CD 1的所成角为θ，则11111160222A D CD cos A D CD θθ⋅===∴=︒⋅⋅，， ∴异面直线A 1D 与CD 1的所成角为60°．11101010111100DA DC CA CB ===-=（，，），（，，），（，，），（，，），设平面DCA 1的法向量n x y z =（，，），则100n DA x z n DC y ⎧⋅+⎨⋅⎩＝＝，＝＝ ，取x=1，得101n =-（，，），设平面BCA 1的法向量m x y z =（，，），则100m CA x y z m CB x ⎧⋅-+⎨⋅⎩＝＝，＝＝ 取y=1，得011m =（，，），， 设二面角B-A 1C-D 的大小为α， 则1160222m ncos m n αα⋅===∴=︒⋅⋅，， ∴二面角B-A 1C-D 的大小为60°．故答案为60°，60°．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·全国高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求BE 与平面1B BD 所成角的正弦值.10. 【解析】 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则11(0,0,0),(2,2,0),(2,2,2),(0,2,1),(2,2,0),(0,0,2),(2,0,1)D B B E BD BB BE =--==-.设平面1B BD 的法向量为1(,,),,n x y z n BD n BB =∴⊥⊥， 1220,20,n BD x y n BB z ⎧⋅=--=⎪∴⎨⋅==⎪⎩,0.x y z =-⎧∴⎨=⎩ 令1y =，则(1,1,0)=-n ，10cos ,||||n BE n BE n BE ⋅∴〈〉==. 故BE 与平面1B BD 10.19．（2020·全国课时练习）如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12，试建立适当的坐标系.（1）求平面ABCD的一个法向量；（2）求平面SAB的一个法向量；（3）求平面SCD的一个法向量.【答案】（1）(0，0，1)；（2）12，0，0；（3）(2，-1，1).【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D 12，0，0，S(0，0，1).（1）∵SA⊥平面ABCD，∴AS=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量. （2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴AD=12，0，0是平面SAB的一个法向量.（3）在平面SCD中，DC=12，1，0，SC=(1，1，-1).设平面SCD 的法向量是n =(x ，y ，z )，则n ⊥DC ，n ⊥SC ，∴·0·0n DC n SC ⎧=⎨=⎩，， 得方程组12020x y x y z y x y z ⎧=-+=⎧⎪∴⎨⎨=-⎩⎪+-=⎩，，，，令1y =-，则1z =，2x =，∴n =(2，-1，1).所以n =(2，-1，1)是平面SCD 的一个法向量.20．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 、N 分别是11A B 和1BB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出图中M 、N 的坐标； (2)求直线AM 与NC 所成角的余弦值.【答案】(1)M （2，1，2），N （2，2，1）.(2)25． 【解析】 (1)由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.由题意知A （2，0，0），B （2，2，0），∴M （2，1，2），C （0，2，0），∴N （2，2，1）.(2)由(1)可知()012AM =，，，CN =（2，0，1），设直线AM 与CN 所成的角为θ，则cosθ＝|cos AM CN ＜，＞|＝55⋅|25=． ∴直线AM 与CN 所成的角的余弦值是25．21．（2018·江苏泰州·高二月考（理））如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．求证：（1）,,EF AP AD 共面；（2）求证：EF CD ⊥．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】证明：()1如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB a =，2BC b =，2PA c =，则(0,A 0，0)，(2,B a 0，0)，(2,C a 2b ，0)，(0,D 2b ，0)，(0,P 0，2)c ， E 为AB 的中点，F 为PC 的中点，(,E a ∴0，0)，(,F a b ，)c ，(0,=b ，)c ，()0,0,2c =，(0,=2b ，0)，1122EF AP AD ∴=+ ∴ ,,EF AP AD 共面.（2）()()2,0,0,0,,CD a EF b c =-=，()()·2,0,0?0,,0CD EF a b c ∴=-=CD EF ∴⊥ CD EF ∴⊥．22.（2019·甘肃省武威第一中学高二月考（理））如图所示,已知点P 在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°. (1)求DP 与CC′所成角的大小.(2)求DP 与平面AA′D′D 所成角的大小.【答案】（1）45°.（2）30°. 【解析】(1)如图所示,以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,设DA=1.则DA=(1,0,0),'CC=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H. 设DH=(m,m,1)(m>0),由已知<DH,DA>=60°,由DH DA=|DA||DH|cos<DH,DA>,可得22m1+解得m=2 2,所以DH=22,,1 22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.因为cos<DH,'CC2200112 22221+⨯+⨯=⨯所以<DH,'CC>=45°,即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC=(0,1,0),因为cos<DH,DC2201101 22212+⨯=⨯所以<DH,DC>=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.。