第八章 总结
c a b =+ c a b =－
0a ≠，则a a
e a
=x z a
a
a
=
=
，，
0(z F x 或
第十章 总结
2()(cos ,sin )(cos ,sin )D
f d d d f d β
ϕθρθρθρρθ
θρθρθρρ
=⎰⎰⎰⎰
02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤
（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）0(,)f x y x ⎧
对于是奇函数，
第十一章总结
所有类型的积分：
○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；
○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；
○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章总结
无穷级数常
数
项
级
数
傅
立
叶
级
数
幂
级
数
一
般
项
级
数
正
项
级
数
用收敛定义，
n
n
s
∞
→
lim存在
常数项级数的基本性质
常数项级数的基本性质
○1若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛.
○2两个收敛级数的和差仍收敛.
注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.
○3去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性.
○4若级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成
的级数仍收敛，且其和不变。

推论:如果加括号后所成的级数发散,则原来级数
也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛.
○5（必要条件）如果级数收敛,则0
lim
=
→
n
n
u
莱布尼茨判别法若1+
≥
n
n
u
u且0
lim=
∞
→
n
n
u，则∑∞
=
-
-
1
1
)1
(
n
n
n u收敛
n
u
∑和
n
v
∑都是正项级数，且
n
n
v
u≤.若
n
v
∑收敛，则
n
u
∑也收敛；若
n
u
∑发散，则
n
v
∑也发散.
比较判别法
比较判别法
的极限形式
n
u
∑和
n
v
∑都是正项级数，且l
v
u
n
n
n
=
∞
→
lim，则○1若
+∞
<
<l
0,
n
u
∑与
n
v
∑同敛或同散;○2若0
=
l,
n
v
∑收
敛,
n
u
∑也收敛；○3如果+∞
=
l，
n
v
∑发散，
n
u
∑也发散。

比值判别法
根值判别法
n
u
∑是正项级数，ρ
=
+
∞
→
n
n
n u
u
1
lim,ρ
=
∞
→
n
n
n
u
lim,则1
<
ρ时收
敛；1
>
ρ(ρ=+∞)时发散；1
=
ρ时可能收敛也可能发散.
收
敛
性
和
函
数
展
成
幂
级
数
n
n
n
x
a
∑∞
=0
,ρ
=
+
∞
→
n
n
n a
a
1
lim
,1,0;,0;0,.
R R R
ρρρ
ρ
=≠=+∞===+∞缺项级数用比值审敛法求收敛半径
)
(x
s的性质○1在收敛域I上连续;○2在收敛域)
,
(R
R
-内可导，且可逐项求导;○3和函数)
(x
s在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).
直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式
1
1
(11)
1
n
n
x x
x
∞
=
=-<<
-
∑
1
1
()
!
x n
n
e x x
n
∞
=
=-∞<<+∞
∑
2
2
T
T l
π
=
=
∑∞
=
+
+
=
1
0)
sin
cos
(
2
)
(
n
n
n
nx
b
nx
a
a
x
f⎰-
=π
π
π
dx
x
f
a)
(
1
⎰-
=π
π
π
nxdx
x
f
a
n
cos
)
(
1
⎰-
=π
π
π
nxdx
x
f
b
n
sin
)
(
1收敛定理
x是连续点,收敛于)
(x
f;x是间断点,收敛于)]
(
)
(
[
2
1
+
-+x
f
x
f
周期
延拓
)
(x
f为奇函数，正弦级数，奇延拓；)
(x
f为偶函数，余弦级数、偶延拓.
交错
级数。