例8 证 对于任意给定的正数 (不妨设0< <1)，由于
三、收敛数列的性质
数列收敛于a的几何意义如下：
当我们把 看成是数轴上的点列时，数列 收敛于a，就是对点a 的任何一
个邻域
，都存在一个序号N，使得点列
的第N个点 以后的
所有点
都在这个邻域之内，即点列中最多除去前N个点外，都聚集在点a
的这个邻域之内，或者说至多有N个点
落在区间
之外.
当我们把数列 看成是n的整标函数，即
其图形是在平面直角坐标系中的二维点列：
数列 收敛于a，就是对于任意给定的正数 (无论其多么
小)，总存在正整数N，当n>N时，二维点 都在直线
与直线
形成的带状域之内，一般来说， 越小( 带宽小)，N越大.
定理2.1(极限的唯一性) 若数列 收敛，则其极限唯一.
例1、例5中的数列是单调增加的，例2中的数列是单调减少的. 对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有
成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的. 容易验证例2，例3和例4中的数列是有界的；而例1和例5中的数列是无界的.
在几何上，通常用数轴上的点列
来表示数列 .
这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列
是自左
向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间[－M，M]之内，表示无
界数列的点列，无论区间[－M，M]多么长，总有落在该区间之外的点.
二、数列的极限
我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，就是数列极限 思想的体现.
数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.
以
为例来讨论数列极限的含义.
前面已经看到：
当n无限地增大时，xn无限地趋于常数1.
所谓xn无限地趋于1，就是说
可以任意小.
也就是对于任意给定的正数 ， 都可小于 .
而
任意小的前提条件是n充分大.
比如
，欲使
只需n>100.
欲使
只需n>1000. 一般来说，对于任意给定的正数，欲使
这样，就定量地刻画了当 数列极限的精确定义.
定理2.2 (收敛数列的有界性) 收敛数列必有界. 证 设数列 收敛，并且以a为极限.
根据数列极限的定义，对于 ，存在着正整数N，
使得当n>N时，都有
由定理2.2知，无界数列一定是发散的.
注意: 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例如，数列
是有界的，而 却是发散数列.
定理2.3(保序性)
一、数列的概念
定义 按一定顺序排列起来的无穷多个数
称为数列.通常称 为数列的第一项， 为第二项，一般地，将第n项 称为通项或 一般项.数列可用通项简记为 .
例1 例2 例3
例4 例5
数列 可以理解为正整数n的函数， 因此，又可以称数列为整标函数，其定义域是正整数集.
若有
单调增加的；
单调减少的. 单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.
例如
对于
来说，当n越来越大时，没有确定的变化趋势.
当n“充分大”时，
“无限接近于1”;
Hale Waihona Puke 当n“充分大时”，“无限接近于0”.
一般来说，如果当n无限地增大时，xn无限地趋向于常数a，则说，当n趋于无穷大 时， 以为a极限，记成
当n越来越大时，它们各自是否都有确定的变化趋 势？如果有，极限是什么？
时， 以1为极限的这一事实.下面给出
定义 设有 ，a是常数，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正整数N，使当 n>N时，都有
成立.则称数列 当n趋于无穷大时以a为极限，记作
数列 有极限，也称该数列是收敛的.否则，称数列是发散的.
例6 证
例7 证 当q=0时，等式显然成立.
当0<|q|<1时，对任意给定的正数 (不妨设 <1).
且a>b，则存在正整数N，当n>N时，恒有
定理2.3表明两个收敛数列，若它们的极限不相等时，则当n充分大后对应的项 也不相等，且与极限值有相同的大小顺序.
推论1 若
且a>b(或a<b)，则存在正整数N，当n>N时，
证 在定理2.3中取
，即得推论1.
推论2 证 反证法
注意：
证 反证法.设数列 收敛，但极限不唯一，
即 有极限a和b，不妨设a>b.取
.
根据数列极限的定义及{xn}以a为极限可知，存在正整数N1，当 n> N1时，有
又由于 时，有
以b为极限，对上述的
存在正整数N2 ，当
当n>N时，(1)式与(2)式同时成立，这显然是矛盾的.因此，收敛数列的 极限是唯一的.