随机事件的概率一、事件1．在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．2．在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．3．在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．二、概率和频率1．用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据．2．在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n An为事件A出现的频率．3．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.2．必然事件的概率P(E)＝1.3．不可能事件的概率P(F)＝0.4．概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．5．对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．1.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．则下列结果正确的是( )A．P(M)＝13P(N)＝12B．P(M)＝12P(N)＝12C．P(M)＝13P(N)＝34D．P(M)＝12P(N)＝34解析：选D 由条件知事件M包含：(正、反)、(反、正)．事件N包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)．故P(M)＝12，P(N)＝34.2．(2012·)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球解析：选D A中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D中的两个互斥而不对立．3．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，P(A)与mn的关系是( )A．P(A)≈mnB．P(A)＜mnC．P(A)＞mnD．P(A)＝mn解析：选A 事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值．4． 2012年伦敦奥运会中国与韩国选手进行女子重剑决赛．中国选手获胜的概率为.战平的概率为，那么中国选手不输的概率为________．解析：中国选手不输的概率为＋＝.答案：5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则a＜b的概率为________．解析：(文)取出的两个数用数对表示，则数对(a，b)共有15种，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)．其中a＜b的情形有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，故所求概率P＝315＝15.(理)从{1,2,3,4,5}中任取一数a，从{1,2,3}中任取一数b，共有5×3＝15种取法，满足a＜b的有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3种，故所求概率P＝315＝15.答案：1 51.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．2．从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集；事件A的对立事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．典型例题[例1] (2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．[自主解答] (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率为75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为15 29.1．概率是一个常数，它是频率的科学抽象，将事件发生的频率近似地作为它的概率是求一事件概率的基本方法．2．概率公式P＝mn(n次试验中，事件A出现m次)．1．(2012·泰安月考)在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10 000元，某人摸中一等奖的概率是，这是指( )A．这个人抽1 000次，必有1次中一等奖B．这人个每抽一次，就得奖金10 000×＝10元C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是D．以上说法都不正确解析：选C 摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是，而不能说这个人抽1 000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10 000×＝10元，因此选C.[例2] (2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．[自主解答] (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋×30＋2×25＋×20＋3×10100＝(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7 10 .2．(2012·郑州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析：因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝12＋16＝23.答案：2 3[例3] 一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，求：(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．[自主解答] 记事件A＝{任取1球为红球}，事件B＝{任取1球为黑球}，事件C＝{任取1球为白球}，事件D＝{任取1球为绿球}，∴P(A)＝512，P(B)＝412＝13，P(C)＝212＝16，P(D)＝112.(1)取出的小球是红球或黑球的概率为P1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝512＋13＝912＝34.(2)法一：取出的小球是红球或黑球或白球的概率为P2＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝512＋13＋16＝1112.法二：“取出的小球是红球或黑球或白球”与“取出的小球为绿球”互为对立事件，故所求概率为P2＝1－P(D)＝1－112＝1112.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；(2)间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)求解，即正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便．3．(2012·长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝，P(B′)＝，P(C′)＝，P(D′)＝.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝＋＝.(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝＋＝.法二：因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′＋D′)＝1－P(B′＋D′)＝1－＝.答：任找一人，其血可以输给小明的概率为，其血不能输给小明的概率为.练习1．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③解析：选C ③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有三个事件：“两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件．2．(2013·温州模拟)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )解析：选A 送卡方法有：(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年片送给同一人的情况有两种，所以概率为12.3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．B ．C ．D ．解析：选C 事件“抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件，由于P (A )＝，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－＝.4．(2012·大同一模)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )解析：选A 从五个小球中任取两个共有10种，而1＋2＝3,2＋4＝6,1＋5＝6，取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为310. 5．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为，则摸出黑球的概率为( )A ．B ．C ．D ．解析：选D 摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，故摸出黑球的概率P ＝1－－＝. 6．(2012·安徽六校联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角记为α，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为( )解析：选B cos 〈a ，b 〉＝m m 2＋n2，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22＜mm 2＋n2＜1，∴n ＜m ，又满足n ＜m 的骰子的点数有(2,1)，(3,1)，(3,2)，…，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共15个．故所求概率为P ＝1536＝512.7．(2012·北京西城二模)已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y )，其中x 随机选自集合{－1,1,3}，y 随机选自集合{1,3}，那么a ⊥b 的概率是________．解析：从集合{－1,1,3}中取一个数为x 有3种取法，同理y 有2种取法，满足a ⊥b 的有一种取法(x ＝1，y ＝3)，故所求的概率P ＝13×2＝16.答案：168．(2013·宁波模拟)已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：从中取出2粒棋子，“都是黑棋子”记为事件A ，“都是白棋子”记为事件B ，则A 、B 为互斥事件．所求概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.答案：17359.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率是______，他至多参加2个小组的概率为________．解析：随机选一名成员，恰好参加2个组的概率P (A )＝1160＋760＋1060＝715，恰好参加3个组的概率P (B )＝860＝215，则他至少参加2个组的概率为P (A )＋P (B )＝715＋215＝35，至多参加2个组的概率为1－P(B)＝1－215＝1315.答案：35131510．某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为，则不中靶的概率为多少(2)若命中10环的概率是，命中9环的概率为，命中8环的概率为，则至少命中8环的概率为多少不够9环的概率为多少解：(1)记中靶为事件A，不中靶为事件A，根据对立事件的概率性质，有P(A)＝1－P(A)＝1－＝.故不中靶的概率为.(2)记命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，至少8环为事件E，不够9环为事件F.由B、C、D互斥，E＝B∪C∪D，F＝B∪C，根据概率的基本性质，有P(E)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＝；P(F)＝P(B∪C)＝1－P(B∪C)＝1－＋＝.所以至少8环的概率为，不够9环的概率为.11．(2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85. 当日需求量n <17时，利润y ＝10n －85. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )．(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝. ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P ＝＋＋＋＋＝.12.(2011·陕西高考)如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人，则用频率估计相应的概率为.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人， 故由调查结果得频率为：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60L 1的频率(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝＋＋＝，P(A2)＝＋＝，P(A1)＞P(A2)，故甲应选择L1；P(B1)＝＋＋＋＝，P(B2)＝＋＋＝，P(B2)＞P(B1)，故乙应选择L2.重点题型：1．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )解析：选D 甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|a－b|>1”，又|a－b|＝2包含2个基本事件，所以P(B)＝29，所以P(A)＝1－29＝79.2．2011年深圳大运会的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为12，通晓中文和日语的概率为310.若通晓中文和韩语的人数不超过3人．则这组志愿者的人数为________．解析：设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z ，且x ，y ，z ∈N *，则⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋y ＋z ＝12，y x ＋y ＋z ＝310，0＜z ≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，z ＝2，所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10.3.(2012·琼海模拟)某观赏鱼池塘中养殖大量的红鲫鱼与金鱼，为了估计池中两种鱼数量情况，养殖人员从池中捕出红鲫鱼和金鱼各1 000条，并给每条鱼作上不影响其存活的记号，然后放回池内，经过一段时间后，再从池中随机捕出1 000条鱼，分别记录下其中有记号的鱼数目，再放回池中，这样的记录作了10次，将记录数据制成如图所示的茎叶图．(1)根据茎叶图分别计算有记号的两种鱼的平均数，并估计池塘中两种鱼的数量． (2)随机从池塘中逐条有放回地捕出3条鱼，求恰好是1条金鱼2条红鲫鱼的概率． 解：(1)由茎叶图可求得有记号的红鲫鱼数目的平均数为20(条)；有记号的金鱼数目的平均数为20(条)．由于有记号的两种鱼数目的平均数均为20(条)， 故可认为池中两种鱼的数目相同，设池中两种鱼的总数目为x 条，则有401 000＝2 000x ，解得x ＝50 000，因此可估计池中的红鲫鱼与金鱼的数量均为25 000条．(2)由于是用随机逐条有放回地捕出3条鱼，每一条鱼被捕到的概率相同，用x 表示捕到的是红鲫鱼，y 表示捕到的是金鱼，基本事件总数有8种(x ，x ，x )，(x ，x ，y )，(x ，y ，x )，(y ，x ，x )，(x ，y ，y )，(y ，x ，y )，(y ，y ，x )，(y ，y ，y )，恰好是1条金鱼，2条红鲫鱼的基本事件有3个，故所求概率为P ＝38.补充练习：1．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a ，设事件A ＝“a 为3”，B ＝“a 为4”，C ＝“a 为奇数”，则下列结论正确的是( )A．A与B为互斥事件B．A与B为对立事件C．A与C为对立事件D．A与C为互斥事件解析：选A 依题意，事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，但A与B不是对立事件，显然，A与C既不是对立事件也不是互斥事件．2．(2012·泰州模拟)从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )解析：选D 基本事件总数为5×5×5＝125，而各位数字之和等于9分三类：(1)三个数字都不相同，可取1,3,5或2,3,4共组成12个三位数；(2)三个数字有两个相同，可取2,2,5或4,4,1共组成6个三位数；(3)三个数字都相同，有333，即1个三位数．∴所求概率为12＋6＋1125＝19125.3．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：求：(1)至多2人排队的概率；(2)至少2人排队的概率．解：记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，A、B、C彼此互斥．(1)记“至多2人排队”为事件E，则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.(2)记“至少2人排队”为事件D.“少于2人排队”为事件A＋B，那么事件D与事件A ＋B是对立事件，则P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－＋＝.。