utt a2uxx 0
(四)、均匀薄膜的微小横振动
utt a22u 0 其中 2 / x2 2 / y2 二维拉普拉斯算符 2 / x2 2 / y2 2 / z2 三维拉普拉斯算符
薄膜受迫振动方程
utt a22u f (x, y, t)
方程类型： 波动方程、输运方程、稳定场方程 双曲型、抛物型、椭圆型偏微分方程
5
(一)、均匀弦的微小横振动
弦乐器,声带等都是弦的振动,
下面导出弦的振动方程.
u
设弦是柔软的,崩紧以后,
C
T2
1
弦上小段之间存在张力,如果 重量跟弦张力相比很小,可以 忽略为没有重量的弦,如果弦 静止,则是一直线,取做x轴,各
则方程(1)(2)化为
T2 T1 0
(3)
T2ux xdx T1ux x utt dx
(4)
T2=T1张力不随时间变化且相等,另外振动过程中, dx ds
即长度ds不随时间变化,作用于B段的张力也不变,张力既跟x无关
又跟t无关,故为常数,记为T,则(4)变为
T (ux xdx ux x ) utt dx
C的拉力T1和T2
2
每个小段没有纵向运动,纵向合力为零 T1
C
T2
1
B
A
弦的横向加速度为Utt(二阶导数缩写) O
x
由F=ma,小段B的纵向和横向运动方程分别为
x+dx x
TT22
cos2 s in 2
T1 cos1 0 T1 sin1 (ds)utt
(1) (2)
其中 线密度,ds为小段弧长 我们仅考虑小的振动 1,2
弦的位移是时间t和左边x两个自变量的函数,是弦上彼此互相 影响的质点的运动方程,反映在Uxx项上.
9
如果在振动过程中,弦还受到外加横向力的作用,单位长度弦 所受横向力为F(x,t),则(2)相应修改为
T2 sin2 T1 cos1 F (x, t) (ds)utt
则方程(6)就可修改为 utt Tu xx f (x,t)
应力(单位面积两方的作用力)分别是YUx|x和YUx|x+dx,则B方程为
11 (Sdx)utt YSux xdx YSux x YSux / xdx
其中, 为杆的密度,S为横截面积
x x+dx
上式同除Sdx可得
utt Yuxx 0
(8)
此即为杆的纵向振动方程
A u B u du C
A
2
边界条件：
在具体的问题中，必须考虑研究的区域的边界的状况，周围 的“环境”的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件。
初始条件：
为了了解随时间发展变化的问题，还必须考虑研究对象的 特定历史（不能割裂历史），即在某个所谓“初始”时刻的 状态，初始条件
定解条件：
边界条件和初始条件合称为定解条件。
3
2
B
T1
A
Ox
x+dx x
点的横向位移记作u,是x跟时间t的函数,要导出的是u所满足的方程.
机械运动的基本定律为F=ma,但弦不是质点,对整体不使
用,但可以细分为小段,每段抽象成质点,整体由许多互相联系的
质点组成,就可以应用牛顿定律.
6拿区间[x,x+dx]--B作为代表元素研究, u
没有重量,并且柔软,则只受临段A和
B
C
对于均匀的杆,Y和 是常数,则(8)可变为
utt a2uxx 0
(9)
其中 a2 Y/ 于弦的振动方程(6)完全一样,a也是波速
受迫振动方程跟弦的完全一样,其中F(x,t)是杆单位长度上单位
横截面积所受的纵向外力 utt Tu xx f (x,t)
12 (三)、传输线方程(电报方程)
1 第七章 数学物理定解问题
某个物理量随时间变化，这导致以时间为自变量的常微分方程 （例：质点的运动方程，电路微分方程）
但实际中，往往要求空间连续分步的状态和过程，电场强度， 电磁波的电场强度和磁感应强度在空间和时间的四维空间的 变化情况。研究物理量在空间某个区域的情况，以及随时间 的变化情况，自变量不仅仅是时间，还有空间坐标。 为解决这些问题，首先应掌握物理量在空间的分部规律和时间 的变化规律（物理规律），具体问题既有共性又有特殊性 （个性）
为小量,则忽略高阶小量 cos1 112 / 2! 1
cos2 1 sin1 1 13 / 3! 1 tg1
7 sin2 2 tg2
ds (dx)2 (du)2 1 (ux )2 dx dx 其中
ux u / x tg 又 tg1 ux x ,tg2 ux xdx
8
由于dx很小,则 ux xdx ux x ux / xdx uxxdx
则B小段的运动方程成为
utt Tu xx 0
(5)
由于B的任意性,故上述方程(5)就是弦的振动方程.
对于均匀弦, 为常数,(5)可写为 utt a2uxx 0 (6)
其中 a2 T / (a就是振动在弦的传播速度----波速)
(7)
其中 f (x,t) F(x,t) / 称为力密度,时刻t作用于x处单位
质量上的横向外力,(7)称为受迫振动方程,
而(6)称为自由振动方程.
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(二)、均匀杆的纵振动
要推导的是杆上各点沿杆长方向 的纵向位移U(x,t)所满足的方程.
把杆细分为小段,区间[x,x+dx]作为 代表来研究,振动过程中,B两端位移
数学物理方程
物理规律应用偏微分方程来表达出来，叫做数学物理方程， 作为同一类物理现象的共性，跟具体的条件无关，数学上， 数学物理方程本身 （不带定解条件）叫做泛定方程。
本书任务：在给定的定解条件下，求解数学物理方程， 这叫作数学物理定解问题
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第一节、数学物理方程的导出
导出步骤： 首先确定物理量u，从研究的系统中划出一小部分，根据物理 规律分析其他临近部分和这小部分的相互作用（忽略次要因素） 我们所研究的相互作用在一个短的时间段内怎样影响物理量u， 把这种影响用算式表达出来，然后简化整理就得到数学物理方程
x x+dx
A u B u du C
A
B
C
分别记为U(x,t)和U(x+dx,t)=U+dU|t显然,B段的伸长即为dU|t 而相对伸长则为
Hale Waihona Puke [U(x+dx,t)-U(x,t)]/dx=dU|t/dx=Uxdx/dx=Ux
相对伸长Ux随地点不同也不同,在B的两端,相对伸长不同,分别是 Ux|x和Ux|x+dx,如果杆的扬氏模量是Y,由胡克定律得,B两端的张