之 ， 若 令 θ ＝ 90° ， 则 有 cosθ1·cosθ2 ＝ 0.∵θ1≠90° ， ∴ θ2 ＝
90°，即若AC⊥AO，则AC⊥AB，此即三垂线定理的逆定
人 教
B
理，由此可知三垂线定理及逆定理可以看成是此公式的特 版 数
学
例．
(3)公式也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分别是斜线与 射影，射影与平面内的直线，斜线与平面内的直线所成的
第三章 空间向量与立体几何
[答案] 1.cosθ1·cosθ2
人
2．它在平面内的射影
教
B
3．(1)90° (2)0° (3)射影所成的角
版 数
学
第三章 空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
[例1] 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正
方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD与平面PAB所
角．
若已知θ1，θ2，θ中的两个值可以求另一个值．
第三章 空间向量与立体几何
3．有时 B 在平面 α 内的射影 O 的位置不好确定，也
可用向量法求，如图所示，可求平面 α 的法向量 n，则 n
与A→B所夹的锐角 θ1 的余角 θ 就是 AB 与平面 α 所成的角．
人
4．求法步骤：
教 B
版
数
(1)求平面法向量 n；
成的角．
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B
版
数
学
第三章 空间向量与立体几何
[解析]
∵PADB⊂⊥平平面面AABBCCDD⇒
PD⊥AB DA⊥AB
人 教
PD∩DA＝D
B 版 数
学
⇒AABB⊥ ⊂平 平面 面PPADBA⇒平面 PAD⊥平面 PAB.
取 PA 的中点为 E，连结 DE，BD，
∵PD＝DC＝DA，
第三章 空间向量与立体几何
∴DE⊥PA
DE⊂平面PAD
平面PAD⊥平面PAB
⇒DE⊥平面 PAB.
平面PAD∩平面PAB＝PA
人 教 B
版
数
设 PD＝a，则 BD＝ 2a，DE＝ 22a，
学
2 ∴sin∠DBE＝ 22aa＝12.
∴∠DBE＝30°，即 BD 与平面 PAB 所成的角为 30°.
第三章 空间向量与立体几何
B
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值．
版 数
学
第三章 空间向量与立体几何
[解析] (1)证明：连结AC，AC交BD于O，连接EO.
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线，
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B
∴PA∥EO.
版 数
学
而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.
所以，PA∥平面EDB.
第三章 空间向量与立体几何
3．直线与平面的夹角
(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的
夹角为________．
(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直
人 教BΒιβλιοθήκη 线与平面的夹角为________．
版 数
学
(3)斜线与它在平面内的________叫做斜线和平面所成
的角(或斜线和平面的夹角)．
以相互转化．
第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
重点：直线和平面所成的角．
人 教
B
难点：求直线和平面所成的角．
版
数
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
1．直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与
平面斜交时，直线和平面所成的角是指这条直线和它在平
[说明] 定义法就是指将斜线与平面的夹角转化为斜
线与其平面内射影的夹角．此种方法的关键在于确定斜线
在平面内的射影．
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第三章 空间向量与立体几何
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
(1)证明：PA∥平面EDB；
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
1．知识与技能
掌握直线和平面所成的角．
能够求直线和平面所成的角．
2．过程与方法
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B
通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能 版 数
学
力．
3．情感态度与价值观
培养学生辩证的看待事物，体会事物在一定条件下可
面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平 人
教
B
面所成的角为 90°；③直线和平面平行或直线在平面内时，
版 数
学
直线和平面所成的角为 0°.由此可知，直线和平面所成的
角的范围为[0，π2]．
第三章 空间向量与立体几何
2．公式cosθ＝cosθ1·cosθ2.如图所示，OA为平面α的斜 线，AB是OA的平面α内的射影，AC为平面α内过A 点的任
教 B 版
数
学
AFEG 的夹角．
[分析] 解答本题首先建立空间直角坐标系，求出平 面AFEG的法向量和AH的方向向量，再求两向量夹角余弦 的绝对值即可．
一直线，设∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，则
cosθ＝cosθ1·cosθ2.
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B
(1) 由 0<cosθ2<1 ， ∴ cosθ<cosθ1 ， 从 而 θ1<θ ， 这 就 是 最
版 数
学
小角定理．
第三章 空间向量与立体几何
(2)在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1·cos90°＝0， ∴θ＝90°，即当AC⊥AB时，AC⊥AO.此即三垂线定理；反
a2＋a22＝
5 2 a.
版 数 学
∵EF＝12PD＝a2，
∴在
Rt△EFB
中，tan∠EBF＝
5 5.
第三章 空间向量与立体几何
[例 2] 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 4，
点 E、F、G、H 分别在棱 CC1、DD1、BB1、BC 上，且
人
CE＝12CC1，DF＝BG＝14DD1，BH＝12BC.求 AH 与平面
(2)作EF⊥DC交DC于F，连结BF.
设正方形ABCD的边长为a，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC.
第三章 空间向量与立体几何
∴EF∥PD，F为DC的中点．
∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，
故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中．
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B
BF＝ BC2＋CF2＝
学
(2)在平面 α 内任取一点 A，求，A→B；
(3)线面角 α，满足 sinα＝|nn|··A|→A→BB|.
第三章 空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
1．如图：
人 教 B 版 数 学
cosθ＝________. 2．最小角定理 斜线和________所成的角，是斜线和这个平面内所有 直线所成角中的最小角．