高中数学必修一求函数解析式解题方法大全及配套练习一、 定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。

【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f=6)1(5)1(2++-+x x65)(2+-=∴x x x f【例2】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 解：设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([ xx f +=∴11)(【例3】设33221)1(,1)1(xx x x g x x xx f +=++=+，求)]([x g f . 解：2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x xx x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.解：)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、 待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。

其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x.【例3】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .解：显然，)(x f 是一个一元二次函数。

设)0()(2≠++=a cbx ax x f则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2)24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又1392)2(2+-=-x x x f比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=1324942c b a a b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==312c b a 32)(2+-=∴x x x f三、换元（或代换）法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

如：已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。

实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.【例1】 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 【解析】令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x【例2】 已知,11)1(22x x x x x f ++=+求)(x f . 解：设,1t x x =+则11-=t x 则x xx x x x x f t f 11111)1()(222++=++=+= 1)1()1(1111)11(11222+-=-+-+=-+-+=t t t t t t 1)(2+-=∴x x x f【例3】设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f .解：令1cos ,1cos +=∴-=t x x t 又0201cos 2,1cos 1≤≤-≤-≤-∴≤≤-t x x 即]0,2[,)1()()02(,)1()(22-∈+=≤≤-+=∴x x x f t t t f 即【例4】若x xx f x f +=-+1)1()(（1）在（1）式中以xx 1-代替x 得x x xx x x f x x f 11)111()1(-+=---+-即xx x f x x f 12)11()1(-=--+- （2）又以11--x 代替（1）式中的x 得：12)()11(--=+--x x x f x f（3）)1(112121)(2:)2()3()1(23---=----++=-+x x x x x x x x x x f 得)1(21)(23---=∴x x x x x f【例5】设)0,,()1()()(b a ，c b a cxxbf x af x f ±≠=+且均不为其中满足，求)(x f 。

解：cx xbf x af =+)1()(（1）用x 1来代替x ，得xc x bf x af 1)()1(⋅=+ （2）由xbcacx x f b a b a -=-⨯-⨯222)()(:)2()1(得xb a bcacx x f ba )()(222--=∴±≠【例6】已知2)(21+=-x af x ，求)(x f .解：设01-=x at ，则t x a log 1=- 即1log +=t x a代入已知等式中，得：3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a3log 2log )(2++=∴x x x f a a四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．【例1】已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点．则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y xx ，解得：⎩⎨⎧-='--='yy x x 64 ，点),(y x M '''在)(x g y =上 ，x x y '+'='∴2．把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ．(五)配凑法已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．【例1】：已知1)f x =+求()f x 的解析式。

分析：2x x +∴可用配凑法解：由21))1f x =+=-令t =1x t ≥∴≥则2()1f t t =- 即2()1(1)f x x x =-≥ 当然，上例也可直接使用换元法令t =则1t =得222(1)()(1)2(1)1x t f t t t t =-∴=-+-=-即 2()1(1)f x x x =-≥由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

【例2】：已知2211(),f x x xx-=+求()f x . 分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。

解析：由222111()()2f x x x xx x-=+=-+ 令2110t x x tx x=-⇒--= 由0∆≥即240t +≥得t R ∈ 2()2f t t ∴=+即：2()2()f x x x R =+∈实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。

和换元法一样，最后结果要注明定义域。

(六)构造方程组法（消去法）。

若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．构造方程组法适用的围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

【例3】：设()f x 满足1()2(),f x f x x-=求()f x 的解析式。

分析：要求()f x 可消去1()f x ,为此，可根据题中的条件再找一个关于()f x 与1()f x的等式，通过解方程组达到消元的目的。

解析：()2()f x f x x-=………………………①显然，0x ≠,将x 换成1x得 11()2()f f x x x-=……………………………..② 由1()2()11()2()f x f x x f f x xx ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去1()f x，得12()33f x x x=--小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。

互为倒数，如f(x)、1()f x；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

【例4】已知2)(21+=-x a f x ，求)(x f .解：设01-=x at ，则t x a log 1=- 即1log +=t x a代入已知等式中，得：3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a3log 2log )(2++=∴x x x f a a小结：消元法适用于自变量的对称规律。

互为倒数，如f(x)、1()f x ；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

【例5】设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式【解析】)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴又1)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得 11)(2-=x x f ， xx x g -=21)(七、特殊值法：（赋值类求抽象函数）当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．【例1】：设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均有xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f .解：由1)1(=f ，xy y x f y f x f -+=+)()()( 设1=y 得：x x f x f -+=+)1(1)( 即：1)()1(+=-+x x f x f在上式中，x 分别用1,,3,2,1-t 代替，然后各式相加可得：t t t t t f 21211)1)(2(21)(2+=+-+=)(2121)(2*∈+=∴N x x x x f【例2】设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ，有f （x－y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到 f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.八．利用给定的特性求解析式.【例1】．设)(x f 是偶函数，当x ＞0时， xe x e xf +⋅=2)(，求当x ＜0时，)(x f 的表达式.练习．对x ∈R ， )(x f 满足)1()(+-=x f x f ，且当x ∈[－1，0]时， x x x f 2)(2+=求当x ∈[9，10]时)(x f 的表达式.九、累加法：累加法核心思想与求数列的通项公式相似。