● FR 0, MO 0
n
MO MO (Fi ) i 1
★ 由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下， 主矩与简化中心的位置无关。
空间力系
空间任意力系的简化
（2） 空间任意力系简化为一合力的情形 ·合力矩定理


● FR 0, MO 0
合力的作用线通过简化中心
Fz 0, Fx 0, Fy 0,
FE cos P 0 FA FE sin cos 45 0 FB FE sin sin 45 0
解得：
FE P / cos
x
FA FB
2 P tan
2
空间汇交力系
z
FE E

O
A
2.空间力偶的性质
空间力偶
（1）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。
（2）空间力偶等效定理
两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。
推论1：只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长 短，对刚体的作用效果不变。
空间力系
空 间 力 偶 等 效 定 理 证 明


MO(F) z Mz(F)
Fxy
空间力系
例题2 已知：F、 a、b、、, 求:MO(F) 。
解：(1) 直接计算


i jk
MO(F) r F x y z
xa
Fx Fy Fz
y b, z 0
Fx F cos sin , Fy F cos cos Fz F sin
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos(FR ,
i)

Fx FR
cos(FR ,
j)

Fy FR
cos(FR , k)

Fz FR
平衡条件
n
FR Fi 0 i 1
平衡方程

Fx

0
Fy 0

Fz

0

空间力系
例题1 求：绳的拉力和墙体的约束反力。 解：取球体为研究对象
空间力偶
空间力系
空间力偶
推论2：只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此 平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
空间力系
空间力偶
推论2：只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此 平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
定位矢量？ 滑移矢量？ 力偶矩矢—自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
M
M
2 x

M
2 y

M
2 z

cos(M , i) M x M

cos(M , j) M y

M

cos(M , k) M z

M

平衡条件
n
Mi 0
i 1
平衡方程
Mix Miy

0 0

Miz 0
空间力系
空间任意力系的简化
M x (F )

yFz

zFy

M y (F ) zFx xFz
M z (F
)

xFy

yFx

x
O ax
y
y
Fy
Fx
Fxy b
空间力系
空间力矩
3.力对点的矩与力对轴的矩的关系
i jk MO(F) r F x y z
Fx Fy Fz
M x (F )

yFz

zFy
研究方法：与平面力系研究的方法相同，但由于 各力的作用线分布在空间，因此平面问题中的一些概 念、理论和方法要作推广和引伸。
空间力系
§4-1 空间汇交力系
空间汇交力系
平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？
1.空间力的投影和分解
z
（1）直接投影法（一次投影法）
Fx

F
cos

Fy F cos



●FR 0, MO 0 (FR MO )
Mo
o FR
o
FR′′ d
FR
o1 FR
空间力系的合力矩定理：


MO (FR ) FRd MO MO (Fi )
FR
o1
空间力系
（3）空间任意力系简化为力螺旋的情形



● FR 0, MO 0 (FR∥MO )
Fz

F cos

Fz F

O Fy
y
Fx
x
空间力系
（2）间接投影法（二次投影法）
空间汇交力系 z
Fx

F
s in
cos

Fy F sin sin
Fz F cos

（3）力沿坐标轴分解
F

O
y
Fxy

x
F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
k)

Fz FR

z MO
O x
MO
[
M
x
(F
)]2

[
M
y
(F
)]2

[
M
z
(F
)]2

cos(MO , i )


M x (F ) MO
cos(MO ,
j)


M y(F MO
)

cos(MO , k )


M z (F ) MO
空间力系
3.空间力偶系的合成与平衡
空间力偶


合力偶矩矢：M M xi M y j M zk



M M1 M2 Mn Mi
M x M1x M2x Mnx Mix M y M1 y M2 y Mny Miy M z M1z M2z Mnz Miz
空间力系
若以r表示矩心O到力F作用点A的矢径，
则矢量 r F 的大小为
z
r F 2 AOAB
MO (F )
空间力矩
BF
方向也可由右手螺旋法则确定
故：


MO(F) r F
A(x,y,z)
O
r
y
h
x
即：力对点的矩等于矩心到 该力作用点的矢径与该力的矢量积。
空间力系
力对点之矩的解析表达式：
r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
z
MO (F )
空间力矩
BF
i jk
MO(F) r F x y z
O
h
Fx Fy Fz
x
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
MO (F )x ( yFz zFy ) MO (F )y (zFx xFz ) MO (F )z ( xFy yFx )
1.空间力偶·力偶矩矢
空间力偶
空间力偶的三要素：
（1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
F1 F1 F2 F2
空间力系
空间力偶
力偶矩矢
M

M(
F
,F
)

rA

F

rB

F


rBA

F
空间力系

n
FR Fi
主矢

n
MO MO (Fi )
主矩
i 1
i 1
空间力系
空间任意力系的简化
FR
(

Fx
)2

(
Fy
)2

(

Fz
)2

cos(FR ,
i)

Fx FR
cos(FR , j)源自 Fy FR
cos(FR ,
（3）当力沿其作用线移动时,它对于轴之矩不变。
空间力系
空间力矩
力对轴之矩的解析表达式：

z
F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
Fz
F
B
A(x,y,z)
Fy
M z (F ) MO (Fxy ) MO (Fx ) MO (Fy )
Fx
xFy yFx
MO(F)
A(x,y,z)
r
y
定位矢量
空间力系
2.力对轴的矩
F
空间力矩
z
Fz
od
F Fxy Fxy
M z dFxy
逆时针＋，顺时针－
空间力系
空间力矩
力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。
力对轴之矩合力矩定理：合力对任一轴之矩等于各分力对同
一轴之矩的代数和。
z
Mz(F)
M z (F ) M z (Fz ) M z (Fxy ) MO (Fxy )

M y (F ) zFx xFz
M
z (F )

xFy