第十四讲三角形（1）
第一部分：趣味数学
小欧拉智改羊圈
欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。

不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生。

回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。

他一面放羊，一面读书。

他读的书中，有不少数学书。

爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。

原来的羊圈
有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。

他用尺量出了
一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积
正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。

正打
算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，
不够用。

若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将
是110米(15+15+40+40=110)。

父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料;要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。

小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划，他有办法。

父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。

小欧拉急了，大声说，只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。

父亲听了直摇头，心想："世界上哪有这样便宜的事情?"但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。

父亲终于同意让儿子试试看。

小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。

他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。

父亲着急了，说："那怎么成呢?那怎么成呢?这个羊圈太小了，太小了。

"小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。

经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个边长25米的正方形。

然后，小欧拉很自信地对爸爸说："现在，篱笆也够了，面积也够了。

"
父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。

面积也足够了，而且还稍稍大了一些。

父亲心里感到非常高兴。

孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。

父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是可惜了。

后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。

通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。

这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。

第二部分：奥数小练
【例题1】说出下列三角形ABC的底边AB、BC、AC边上的高分别是什么？
A
F E
【思路导航】三角形底与高是互相垂直的，以AB为底，它所对应的顶点是C点，从C点向对边AB作垂线CF，所以三角形底边AB上的高是CF；同样道理，从图中可以看出，三角形底边BC上的高是AD；三角形底边AC上的高是BE。

AB上的高是CF；BC上的高是AD ；AC上的高是BE。

练习1：
1.填空。

（1）下图中三角形ABC中，底边BC上的高是（）。

（2）下图中三角形ABD中，底边BD上的高是（）。

A
2.填空。

如图，在三角形ABC 中：
底边AB 上的高是（ ）；
底边BC 上的高是（ ）；
底边AC 上的高是（ ）。

【例题2】有4根小棒，它们的长度分别是2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，选
择其中的三根，能围成多少个不同的三角形？
【思路导航】根据三角形任意两边的和大于第三边这一性质，采用枚举法可以找到答
案。

（1） 用2厘米、3厘米、4厘米三根小棒，可以围出三角形，因为2+3＞4、2+4＞3、
3+4＞2.
（2） 用2厘米、3厘米、5厘米三根小棒，就不能围成三角形，因为2+3=5.
（3） 用3厘米、4厘米、5厘米三根小棒，也能围成三角形，因为3+4＞5、3+5＞4、
4+5＞3.
（4） 用2厘米、4厘米、5厘米三根小棒，能围成三角形，因为2+4＞5,2+5＞4,5+4＞
2.所以有3种不同的围法。

有3种不同的围法。

练习2：
1.从A 地走到C 地，有几种走法？哪种走法最近？
2.用2根4厘米，1根7厘米的小棒能否围成一个三角形，为什么？
A D
A D
3.有4根小棒，它们的长度分别是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米，选择其中的3根，能围成多少个不同的三角形？
【例题3】一个三角形三边都是整数，其中两边是3cm和5cm，则第三边最大可能是多少？
【思路导航】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答。

5-3＜第三条边＜3+5，2＜第三条边＜8，故第三条边最大可能是7厘米第三条边最大可能是7厘米
练习3：
1.选择：
（1）下列（）组线段不可以围成一个三角形。

A. 4厘米，5厘米和1厘米
B. 3厘米，8厘米和6厘米
C. 2厘米，3厘米和4厘米
（2）一个三角形三边都是整数，其中两边是4cm和8cm，则第三边最小可能是（）。

A．4cm B．5cm C.11cm
（3）小兔要给一块地围上篱笆，（）的围法更牢固些。

A． B. C．
（4）A、C两地之间的距离可能是（）
A．90千米B．26千米C．40千米
2.把一根14厘米长的小棒截成三段整数厘米的小棒，围成一个三角形，最长的一段小棒不能超过多少厘米？
【例题4】下图有A、B、C、D四个点，用它们共可以围成多少个三角形？
.C
D.
.B
A.
【思路导航】三角形有三个顶点，现在有A、B、C、D四个点，从中选择三个顶点就能形成一个三角形。

从四个点中选择三个点共有四种方法，分别是（A、B、C）、（A、B、D）、（A、C、D）、（B、C、D）。

【答案】可以围成4个三角形：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD。

练习4：
1.如下图，有五个点，用它们共可以围成多少个三角形？
.A
.B
.C .D
.E
2.如下图，直线m上有2个点，直线n上有3个点，用它们共可以围成多少个三角形？
3.如图，有A、B、C、D、E五个点，其中B、C、D、E在同一条直线上，用它们共可以围成多少个三角形？
A.
B• C• D• E•
【例题5】用三根长度相等的小棒可以围成一个等边三角形，算一算，要围成
练习5：
1.用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形，如图所示。

要拼成一个更大的等边三角
第三部分：数学史话
图形的产生
图形是伴随着人类产生而产生的，源于人类认识和改造世界的需要，由人类劳动生活的记事符号开始当人类祖先在他们居住的洞穴和岩壁上作画时，图形就成为了联络信息、沟通、表达情感和意识的媒介。

这一点贯穿于图形从产生到今天的每一个时期和阶段。

图形的历史进程大致分为三个阶段。

远古时期人类的象形记事性原始图画为第一个阶段。

原始人的图画式符号是图形的原始形式，也是文字的雏形。

第二个阶段为由一部分图画式符号演变而形成文字。

图画式符号与记事性图画的区别在于其形象的抽象性更强，更为减化。

当记事性图画在实用中不断减化后就形成了图画文字。

第三个阶段为文字产生后带来的图形的发展。

文字这一视觉传达形式使人类的沟通和交往更加密切，而能综合复杂信息内容且又极易被领会的图形形式更为人类所重视和利用。

参考答案：
练习1：
1.3种；AC最近。

2.能。

因为4+4＞7、4+7＞4.
3.1个，2厘米、3厘米、4厘米可以围成三角形。

练习3：
1.A B B C
2. 因为三角形两边之和大于第三边，14的一半是7，那么小于7的最大的整数是6，那么其余两边之和就为8，刚好满足；所以不能超过6厘米。

练习4：
1.10个
2.9个
3.6个
练习5：
1.（1+2+3+4+5）×3=45（根）
2.（4+3+2+1）×2=20（个）
3. 24个1块的，24个2块的，12个3块的，14个4块的，2个大的正三角形，共76个三角形。