4996cm 4
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材料力学
附录I 截面的几何性质
例题Ⅰ- 8 试求图a所示截面对于形心轴 x 的惯性矩Ix 。 解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形 组成，半圆形的形心位置如图b所示。
(1)求Ix 设矩形对x轴的惯性矩为Ix1，每个半 圆形对x轴的惯性矩为Ix2，则有
I x I x1 2I x2
yc
4
zc
z1
I y I y1 I y 2 169 609.4 778.4cm
20b
z
I zc I zc I zc


I z1 A1 ( yc y1 )2 I z 2 A2 ( y2 yc )2
2500 39.5 (14.1 10)2 61.1 21.3 (20 1.67 14.1)2
材料力学
附录I 截面的几何性质
讨论： （1） I xy 为代数值,可正、可负、可为零。 （2）若图形有一对称轴，则 I xy 0 （3）若截面有一根对称轴,则该截面对包括此 对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
y
AII AI
AIII AIV
x

AI
xydA xydA
AII
xydA xydA
A
A

A
x
A
C
Sy x A
Sx y A
y
o x
结论 ：截面对形心轴的静矩为零；反之，若截面对某一 轴的静矩为零，则该轴必为截面的形心轴。
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）
材料力学
y
附录I 截面的几何性质
dy b (y ) h O
例1 试计算图示三角形截面对于与
其底边重合的 x 轴的静矩。
y
d1
h
材料力学 例6 T字形截面,求其对形心轴的惯性矩。 解：(1) 求形心 任选参考坐标系,如 y0 3 20 1.5 3 17 (3 8.5) 3 zc 3 20 3 17
附录I 截面的几何性质
20cm I C
y0
6.1 cm
I zc II zc
zc
y
解：
取平行于 x 轴的狭长条，
b
x
b b( y ) ( h y ) h
所以对x 轴的静矩为
b d A (h y ) d y h
h
S x A y d A 0
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b bh (h y ) y d y h 6
2
材料力学 例2 试确定图示截面形心 C 的位置。 解：将截面分为 1，2 两个矩形。 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合 y
2 2
C
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 128 3π 8 3π 8
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材料力学
附录I 截面的几何性质
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x C
2d πd 2 a 3π 8
(2) 求 I zc , I yc
17
1 1 3 I zc I I 3 20 17 33 12 12 2048 cm4
I II I yc I yc I yc
II
3 z
zc
1 1 3 2 8.5) 2 ] [ 20 3 20 3 ( zc 1.5) ] [ 3 17 3 17 3 ( zc 12 12 4030 cm4
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材料力学
附录I 截面的几何性质
例7 计算图示型钢组合截面的形心和对形心轴的惯性矩。 y 解： S z A1 y1 A2 y2 14b z2 39.5 10 21.3 ( 20 1.67)
Sz yc 14.1cm A1 A2
856.8cm 3
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附录I 截面的几何性质
§I-1 截面的静矩和形心的位置 一、静矩（面积矩）的定义
y x
S y xdA
A
S x ydA
A
dA y
单位： mm3 ; m3
静矩的值与所选 坐标轴的位置有关, 为代数值,可正、可 x 负、可为零。
A
o
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材料力学
附录I 截面的几何性质
二、组合截面的惯性矩和惯性积
若组合截面由几个部分组成，则组合截面对 于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为
I x I xi，
i 1
n
I y I yi，
i 1
n
I xy I xyi
i 1
n
d2
y2
x
O x
y1 y
b
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材料力学
附录I 截面的几何性质
材 料力学
附录 截面几何性质
2016年11月14日
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材料力学
附录I 截面的几何性质
附录I
截面的几何性质
§I-1 截面的静矩和形心位置 §I-2 极惯性矩·惯性矩·惯性积
§I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 ·组合截面的惯性矩和惯性积
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面的主惯性轴和主惯性矩
2
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π
将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得
I x2 3 467104 mm4
附录I 截面的几何性质
y
10
1
x1
C( y, x )
y1
o
2
y2
10
x2
80
x
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材料力学 例I-1’ 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形, zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m 2 , y1 2.46 m; A2 0.48 m 2 , y2 1.2m;
AIII AIV
I xy xydA A yzdA A xydA A xydA 0
AI
II
III
IV
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材料力学
附录I 截面的几何性质
例4 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。 解 ： dA = b dy
I x A y dA
y
3
2
r 2 2
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材料力学
附录I 截面的几何性质
§I-2
极惯性矩●惯性矩●惯性积
定义：平面图形中任 一微面积dA与它到坐标原 点Ｏ的距离ρ平方的乘积 ρ2dA,称为该面积dA对于 坐标原点o的极惯性矩或 截面二次极矩。
一、极惯性矩
y
x
dA
A

y
I P 2 dA
A
o
x
单位： mm4 , m4
A A A

A
yC dA 0
I x I xC a2 A
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材料力学
附录I 截面的几何性质
注意：
（1）应用平行移轴公式时，两平行轴中，要
求xc、yc 必须为形心轴。截面对任意两平行轴
的惯性矩间的关系,应通过对形心轴的惯性矩 来换算； （2）截面对所有平行轴的惯性矩中,以对形心轴 的惯性矩为最小.
附录I 截面的几何性质
10
x1
1
A 1 x1 A2 x 2 x A1 A2 Ai
i 1 n i 1
Ai x i
n
y1
o
y2
2 10
A1 y1 A2 y 2 y A1 A2
x2
80
x
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材料力学 矩形 1
附录I 截面的几何性质
2
A1 10 120 1200 mm
1 d4 I y Ix I p 64 2
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材料力学 y D d x
附录I 截面的几何性质
空心圆截面：
I P I P大 I P小
32 32 D4 (1 4 ) 32
d D

D4

d4
其中
I y I x I z大 I z小
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D4
64
(1 4 )
材料力学
附录I 截面的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何性质
§I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 ●组合截面的惯性矩和惯性积 一、惯性矩和惯性积的平行移轴公式：
已知:
I xc , I yc , I xcyc ,
求
I x , I y 及I xy
( yc // y, xc // x)
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材料力学 例3 半径为r的半圆：求半圆的形心。
附录I 截面的几何性质
解： 在距 z 轴任意高度 y 处取狭长 条作为微面积，即
dA 2 r 2 y 2 dy
S z ydA
A
2 3 2 y r y dy r 0 3 2 3 r Sz 4r 3 yC A 1 r 2 3 2
A
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材料力学
附录I 截面的几何性质
定义:平面图形内，微面 积dA与其两个坐标x、y的 乘积xydA在整个图形内 的积分称为该图形对x、y 轴的惯性积。 图形对x、y两轴的惯性积： y