所以应取 v0 2gR
将g＝9.8米／秒＝2 9.8／1000公里／秒2， R＝6370 公里 代入(1-3)，
v0 2gR ≈11.2公里／秒
—第二宇宙速度 思考题： 若有空气阻力，如何建立其数学模型？
5
二、物体在液面上的浮沉振动问题
问题：一个边长为3米的立方体浮于水面上， 已知立方体上下振动的周期为2秒，试求物体沉 浮振动的规律和质量。
将y1

50
e

t 50
代入得：

dy
2
t
e 50

y2 (t )
dt
100 t
y2 (0) 50
解一阶线性微分方程得
t
y2 y2 (t) 12500 50(150 t)e 50
所以t时刻从第二只桶内流出的盐水的浓度为
y2 100 t

12500 100 t
解：设y1 y1(t)、
y2 y2(t)
分别表示t时刻第一只和第二只桶内盐的数量， 单位为磅，
8
第一只桶在t到t＋t 内盐的改变量为
y1(t

t)
y1 (t )

0 2t

y1 (t ) 100
2t

Байду номын сангаас

dy1 dt


y1 (t ) 50
y1(0) 50
6
由牛顿第二定律得
d2x m dt 2 9000 gx
(1 4)
其中g＝9.8m／s 2 。
方程(1-4)就是物体沉浮振动的数学模型。
易得方程(1-4)的通解为
x c1 cos 于是周期为
9000 g
9000 g
m t c2 sin
t m
T 2 2
9000 g
m
解得 m 9000g 8937 (kg)
2
7
三、液体的浓度稀释问题
问题：有两只桶内各装100加仑的盐水，其浓度为 0.5磅盐／加仑。现用管子将净水以2加仑／分钟的速度 输送到第一只桶内，搅拌均匀后，混合液又由管子以2 加仑／分钟的速度被输送到第二只桶内，再将混合液 搅拌均匀，然后用管子以1加仑／分钟的速度输出，问 在t时刻从第二只桶流出的盐水浓度是多少？
所以物体受地球的引力为： 1
F k
k 0
(R s)2
(1 1)
现求比例系数k
因为当物体在地面上时 S＝0,
F＝－mg
由(1-1)得： k mgR 2
所以
F

mg
R2 (R s)2
由牛顿第二定律：F＝ma

mg
R2 (R s)2

m
d 2s dt2
2
d 2s gR2 dt2 (R s)2
50(150 100

t t
)e

t
5（0 磅盐／加仑）
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四 赝品的鉴定
历史背景:
在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开 始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的 公司中发现线索，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家 范·梅格伦（H·A·Vanmeegren），此人曾将17世纪荷兰名画家 扬·弗米尔（Jan Veermeer）的油画“捉奸”等卖给纳粹德国戈 林的中间人。可是，范·梅格伦在同年7月12日在牢里宣称：他 从未把“捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知 的油画“在埃牟斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和 两幅德胡斯（17世纪荷兰画家）的油画，都是他自己的作品， 这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，他 在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间”，当这 项工作接近完成时，范·梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造 罪，因此他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。
12
历史背景:
然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在 埃牟斯的门徒”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画 已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰 特学会买下。专家小组对于怀疑者的回答是：由于范·梅格伦曾 因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制“在埃牟 斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后， 他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多 么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这 种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地 证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。这一问题一直拖 了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦（Carnegie-Mellon） 大学的科学家们 基本上解决。
故
y1
t
50e 50
第二只桶在t到t＋t 内盐的改变量
y2 (t t) y2 (t) 流入 流出
y1(t) 2t y2 (t) 1 t
100
100 (2 1)t
9


dy2 dt

1 50
y1
(t
)

y2 (t ) 100 t
y2 (0) 50
且有初始条件
s(0) 0 s(0) v0
此方程是二阶特型
令 ds v dt
分离变量
d 2s dv dt2 v ds
则有
v
dv ds


gR2 (R s)2
vdv


gR2 (R s)2
ds
积分得
1 v2 gR2 c
3
2 Rs
由初始条件 s(0) 0 s(0) v0
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历史背景:
为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学
家和艺术史学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射
线检验画布上是否曾经有过别的画。此外，他们分析了油彩中 的拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月的迹象。科学家 们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹，还在几 幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些 证据，范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑 一年。可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于 1947年12月30日死去。
c

1 2
v02

gR
故
1 2
v2

gR2 Rs

1 2
v02

gR
又因为当物体达到最大高度时 V＝0,
于是令
V＝0， gR2 Rs

1 2
v0
2

gR

0
因此物体的最大高度为
smax

v02 R 2gR v02
(1 2)
4
如果物体脱离太阳系，必须 S→＋∞，
而由(1-2)知，当2gR v02 0时，S→＋∞
第三章 微分方程模型
§1 微分方程的简单应用 一、物体达到的最大高度
问题：在地面上以初速度 v 0 铅直向上射一物
体，设地球引力与物体到地心距离平方成反比， 求物体可能达到的最大高度。若物体脱离太阳
系，则 应v为多少？ 0
解： 已知地球半径R＝6370公里，假设空气阻力不计 （仅讨论此简单情况）。 设在t时刻物体的高度为S＝S(t)，
问题的分析：设水的密度为1000kg／m3 ，当 物体侵入水中时，它受到一个向上的浮力，由阿 基米德原理知：浮力的大小等于与物体侵入水中 的那部分同体积的水的重量。
设物体的质量为m，物体在t时刻相对于静止 位置的位移为x，即x＝x(t),
由阿基米德原理知，引起振动的浮力为：
x×3×3×1000g＝9000gx (N)