绪 论机械故障诊断技术作为一门新兴的科学，自从二十世纪六七十年代以来已经取得了突飞猛进的发展，尤其是计算机技术的应用，使其达到了智能化阶段。

现在，机械故障诊断技术在工业生产中起着越来越重要的作用，生产实践已经证明开展故障诊断与状态预测技术研究具有重要的现实意义。

我国的故障诊断技术在理论研究方面，紧跟国外发展的脚步，在实践应用上还是基本落后于国外的发展。

在我国，故障诊断的研究与生产实际联系不是很紧密，研究人员往往缺乏现场故障诊断的经验，研制的系统与实际情况相差甚远，往往是从高等院校和科研部门开始，再进行到个别行业，而国外的发展则是从现场发现问题进而反映到高等院校或科研部门，使得研究有的放矢[1]。

要求机械设备不出故障是不现实的，因为不存在绝对安全可靠的机械设备。

因此，为了预防故障和减少损失，必须对设备的运行状态进行监测，及时发现设备的异常状况，并对其发展趋势进行跟踪：对己经形成的或正在形成的故障进行分析诊断，判断故障的部位和产生的原因，并及早采取有效的措施，这样才能做到防患于未然。

因此，设各状态监测与故障诊断先进技术的研究对于保证复杂机械设备的安全运行具有重要意义。

关键词：小波分析，故障诊断，小波基选取，奇异性基于小波分析的机械故障检测小波奇异性理论用于机械故障检测的基本原理信号的奇异性与小波变换的模极大值之间有如下的关系：设)(x g 为一光滑函数，且满足条件0g(x) lim ,1x)dx ( g x ==∞→+∞∞-⎰，不妨设)(x g 为高斯函数，即σσπ2221)(x e x g -=，令 d x,/x)( dg x)(=ψ由于⎰+∞∞-=0x)dx (ψ，因此，可取函数x)(ψ作为基小波。

对函数)(x f 的关于x)(ψ的小波变换可写成-=-=⎰+∞∞-dx a x x f a a W f )()(1),(τψτ⎰+∞∞-τd d a )(x f dx x g a )(τ （3-6） 其中， )()1()(ax g a x g a ττ-=仍为高斯函数，不妨设a >0,则 ⎰∞+∞-=dx x g x f d daa W a f )()(),(τττ （3-7） 积分⎰+∞∞-dx x g x f a )()(τ可看作是函数f(x)用高斯函数)(x g a τ按尺度a 进行光滑后的结果，当a 很小时,用)(x g a τ对)(x f 光滑的结果对)(x f 的突变部分的位置及形状影响不大，由式(6)可知,小波变换模),(τa W f 与尺度a 下光滑后函数⎰+∞∞-dx x g x f a )()(τ的此，),(τa W f 的极大值点对应的是⎰+∞∞-dx x g x f a )()(τ的突变点，当尺度a 较小时, ⎰+∞∞-dx x g x f a )()(τ的突变点就是)(x f 本身的突变点。

这说明小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在一一对应关系。

下面介绍预备定理，它是利用小波变换进行机械故障检测的重要依据。

定理1(预备定理)：对于平稳随机信号)(t x ,其小波变换的均值为0，方差随着尺度因子a 的增大而趋于零。

证明：[])(t x W T E a =E ττψτd t x a )()(-⎰=[]ττψτd t x E a )()(-⎰=x m ττψd t a )(-⎰ (x m 是)(t x 的均值函数)。

为了保证逆变换的存在，要求⎰dt t )(ψ=0,则[])(t x W T E a =0。

设)()('t x m t x x +=,其中，)('t x 是零均值平稳随机噪声，则[]2)(t x W T E a =[]2')(t x WT m WT E a x a +。

由于x x a m m W T =ττψd t a )(-⎰=0,则[]2)(t x W T E a =[]2')(t x WT E a 。

噪声)('t x 可以看成白噪声)(t n 驱动的某个线性滤波器的输出。

即)()('t h t x =*)(t n ,则)('t x W T a = )(t h *)(t n *a ψ(t)。

设)(ωn S 和n σ2分别是)(t n 的功率谱和方差，)(ωψa 和)(ωH 分别是)(t a ψ,)(t h 的FT,则[]2')(t x WT E a =ωωωψωπd S H n a )()()(2122⎰= ωωψωπσd H a n 222)()(2⎰。

（3-8） 令 max =c ))((2ωH ,'c =πσ22c n , 则[]2')(t x WT E a ωωψd c a 2)(⎰≤=ωωψd a c 2)(⎰=ωωψd a c 2')(⎰=εa c '，所以，随着尺度a 的增大，[]2')(t x WT E a 趋于零,也即是[]2)(t x W T E a 随着a 的增大趋于零。

一般说来，机械设备在正常运转时，系统输出的信号由确定性信号和平稳随机噪声叠加而成，其小波变换是两部分小波变换之和。

由上述预备定理，并根据小波奇异性理论的相关结论可知，确定性信号边沿对应的小波变换的模极大值随着尺度因子的增大将增大，或随着噪声的影响缓慢衰减。

然而，平稳随机噪声作为平稳随机信号的一种，其小波变换的模极大值将随着尺度因子的增大而迅速衰减。

因此，在大尺度下，信号的小波变换的模极大值将主要属于确定性信号的边沿。

而机械故障信号的出现对应于确定性信号的边沿。

根据这一原理，结合小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在的一一对应关系，可以将信号的故障点与平稳噪声区别开来，实现机械故障的检测。

小波函数的选取信号奇异点可通过信号的小波变换局部极大值来定位，而奇异性运用该点的Lipschitz 来定量描述。

运用该理论来实现信号的奇异性检测，比常规手段更优越。

需要注意的是: 选择不同的小波分析信号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小，其检测效果也不一样，因此，选择合适的小波非常重要。

在第二章我们介绍了常见的小波函数，以及不同的小波函数的用处，目前没有一定的规则来断定如何选择小波基。

在实际中,Morlet 小波运用领域较广,可以用于信号表示和分类、图像识别、特征提取;墨西哥草帽小波用于系统辨识;对于数字信号往往选择Haar 或Daubechies 作为小波基;另外还有根据小波函数的消失矩来选择小波基波。

本文主要是机械故障的诊断，因此选择Daubechies 小波基函数。

Daubechies (db N) 小波系Daubechies 小波函数中,除了db1 (即Haar 小波) 外,其他小波没有明确的表达式。

通常Daubechies 系中的小波基记为db N , N 为序号, 且N = 1 , 2 , ⋯, 10 。

Daubechies 小波的特性:具有正交性、双正交性和紧支集,可以进行连续小波变换(CWT) 、离散小波变换(DWT) ,但不具有对称性,支集宽度为2 N - 1 ,小波函数的消失矩数为N ,规则性系数随阶数的增大而增大,对于大的N ,规则性系数大约为013 N ,而Daubechies 小波函数的阶数严格为正整数。

小波基波选择的标准在故障的奇异性检测中,信号的奇异点可以从其小波变换的小波系数模极大值中检测出来。

其基本原理是当信号在奇异点附近的Lipschitz 指数α> 0 时,其小波变换的模极大值随尺度的增大而增大;当α< 0 时,则随尺度的增大而减小。

也就是说在一个合适的尺度下,通过小波变换,根据小波系数模极大值和奇异点的关系,能够检测出信号的奇异点。

本文提出的基于小波规则性系数相似性选择小波基,主要是从小波分析和Fourier 变换的基本思想相似, Fourier 变换是以正弦为基波,用其各次谐波来近似某一函数,其中Fourier 系数代表了各次谐波分量在函数中的权重,这一权重实质上表明了各次谐波和这一函数的相似性;而小波分析是利用小波的窗函数特性来分断逼近,而小波系数的大小也反映了小波和函数某段的相似程度[4] 。

同时函数和小波的规则性均表示着各自的可微性和平滑程度,这样按相似性,可以用平滑的小波,即规则性系数大的小波,来表示平滑的函数;用不平滑的小波,即规则性系数小的小波,来表示非平滑函数。

需要说明的是这里的相似不是绝对的相等或非常接近,只是表示一种趋势。

这一思想和利用小波消失矩选择小波函数有着一致性,因小波的规则性系数和小波的消失矩有着同向的变化趋势,这可从Daubechies 小波的消失矩和其小波规则性系数的关系看出,见表1。

表1 部分db 系小波规则性系数表小波名称db1 db2 db3 db4 db5 db7 db10规则性系数0 0．5 0．91 1．27 1．59 2．15 2．90不同小波基对信号奇变检测仿真1) 不同小波基对突变信号突变点检测当信号产生突变时,在突变点处含有高频成分,并且信号形状还很不规则。

用Daubechies 小波族的部分小波对阶跃信号阶跃点检测来说明不同小波检测的差异。

Daubechies 小波族的db1,db2,db3,db4,db6,db9对阶跃的点检测结果,如图1 所示。

从图1 中可以发现db1 的检测结果最好,这是因为阶跃信号的阶跃点是突变点,且其Lips2chitz 指数一致为0 ,而db1 小波的规则性系数也是0 ,就是说它们在信号的阶跃处有着最大的相似性,因此db1 能最有效地刻画出阶跃点的特征。

db3 ,db5 ,db7 和db9 虽也能检测出突变点,但它们所得检测图的幅值要比db1 小,这是因为它们的规则性系数大,规则性好和阶跃信号在阶跃处的相似性较小。

图3-1不同db 系的小波函数检测突变点的差异（从上到下依次为db123469）这个结果说明小波基波会得到较好的结果。

不同小波基对缓变信号的检测在实际的系统故障中也存在着大量的,如果只是检测出信号奇变的突变点,按照规则性系数相似方法,选择规则性系数较小的奇变缓变信号,对其检测的小波基的选择仍可根据小波基规则性系数来确定。

这里仍用Daubechies小波族的部图3-2 不同小波基波对缓变信号的检测分小波来说明,用db1 ,db3 ,db4 ,db5 和db7 在一个确定的尺度下对缓变信号进行检测,如图2 所示。

从最终的结果来看db5检测所得的图形和缓变信号较接近,也就是说用db5 最能准确地刻画这一缓信号的特征。

从图2 中可以看出这一缓变信号变化比较平稳且连续,所以它自然有着较大的Lipschitz 规则性指数,而db5 的规则性系数要比db1 ,db3 和db4 大,这就说明了对缓变性信号的检测要用规则性系数较大的小波做小波基效果会更好。