.函数与方程复习讲义一．【目标要求】①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数．③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性.二．【基础知识】1．函数零点的概念：对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。

2．函数零点与方程根的关系：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有点⇔函数)(x f y =有零点3．函数零点的存在性定理：如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

注：若()0()0f x f x ><或恒成立，则没有零点。

三．【技巧平台】1.对函数零点的理解及补充（1）若)(x f y =在x a =处其函数值为0，即()0f a =，则称a 为函数()f x 的零点。

（2）变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。

②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。

③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 有零点的充分不必要条件。

（3）一般结论：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根。

从图像上看，函数)(x f y =的零点，就是它图像与x 轴交点的横坐标。

（4）更一般的结论：函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也 就是函数()y f x =与()y g x =的图像交点的横坐标。

2.函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法1) 代数法：函数)(x f y =的零点()0f x ⇔=的根2) 几何法：有些不容易直接求出的函数)(x f y =的零点或方程0)(=x f 的根，可利用)(x f y = 的图像和性质找出零点。

画3) 注意二次函数的零点个数问题0∆>⇔)(x f y =有2个零点()0f x ⇔=有两个不等实根 0∆=⇔)(x f y =有1个零点()0f x ⇔=有两个相等实根 0∆<⇔)(x f y =无零点()0f x ⇔=无实根对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定4) 对于函数()()()F x f x g x =-的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。

5) 方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。

6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。

3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。

为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数a 化为正数， （1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩，20(0)ax bx c a ++<≠恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩（2）20ax bx c ++>的解集为R 0000a a b c >==⎧⎧⇔⎨⎨∆<>⎩⎩或 20ax bx c ++<的解集为R 0000a abc >==⎧⎧⇔⎨⎨∆<<⎩⎩或 （3）对于二次函数在区间[],a b 上的最值问题，参照第1.5（1）和1.5（2）节4.用二分法求方程的近似解㈠给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的基本步骤如下：1.精确区间[],a b D ⊆，使()(0)f a f b ⋅<.令00,a a b b ==.2.取区间[]00,a b 的中点0001()2x a b =+,计算000(),(),()f x f a f b 一般步骤 (1)如果0()0f x =,则0x 就是()f x 的零点, 计算终止；(2) 如果00()()0f a f x <,则零点位于区间[]00,a x ,令1010,a a b x ==； (3) 如果00()()0f a f x >,则零点位于区间[]00,x b 令1010,a x b b ==。

3. 取区间[]11,a b 的中点1111()2x a b =+,计算1()f x (1)如果1()0f x =,则0x 就是()f x 的零点, 计算终止；(2) 如果11()()0f a f x <,则零点位于区间[]00,a x ,令2121,a a b x ==； (3) 如果11()()0f a f x >,则零点位于区间[]00,x b 令1121,a x b b ==。

……4．判断是不是达到精确度ε,即如果a b ε-<,则得到零点近似值a 或(b)； 否则就重复步骤2-4函数与方程复习题1.(20152)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+ 【答案】A2.( 20158)已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<. 864224681510551015【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.3.(201515)已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值围是 . 【答案】),1()0,(+∞-∞ .【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，∴23a b a <<，从而1>a ；若方程)(3a xb x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab ab 31有解，从而0<a ，综上，实数a 的取值围是),1()0,(+∞-∞ .4.(201514)设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值围是．【答案】(1)1，(2)112a ≤<或2a ≥. 【解析】①1a =时，()()()211412 1.≥⎧-<⎪=⎨--⎪⎩x x f x x x x ‚‚‚，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数，函数值大于1，在3[1,]2为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当32x =时，()f x 取得最小值为1；（2）①若函数()2xg x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >，并且当1x =时，(1)2g a =->0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以21且1a a ≥<⇒112a ≤<；②若函数()2xg x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当(1)20h a =-≥时，2a ≥，()h x 与x 轴有两个交点，x a=和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值围112a ≤<或2a ≥.5.(201513)已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【答案】4【解析】由题意得：求函数()y f x =与1()y g x =-交点个数以及函数()y f x =与1()y g x =--交点个数之和，因为221,011()7,21,12x y g x x x x x <≤⎧⎪=-=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =-有两个交点，又221,011()5,23,12x y g x x x x x -<≤⎧⎪=--=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =--有两个交点，因此共有4个交点6.(201408）已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2【答案】B 【解析】画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为12，斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的斜率一致。