整理可得 an1 bn1
1 2 (an
bn ) ，又 a1 b1
1 ，故
an
bn
是首项为1，公比为 1 的等比数列. 2
将 4an1 3an bn 4 ， 4bn1 3bn an 4 作差可得 4an1 4bn1 3an 3bn an bn 8 ，
1 / 13
整理可得 an1 bn1 an bn 2 ，又 a1 b1 1，故 an bn 是首项为1，公差为 2 的等差数列.
设所有长度为 q 的子列的末项分别为： aq1 , aq2 , aq3 , ， 所有长度为 p 的子列的末项分别为： ap1 , ap2 , ap3 , ， 则 an0 min aq1 , aq2 , aq3 , ，
注意到长度为 p 的子列可能无法进一步找到长度为 q 的子列，
故 am0 min ap1 , ap2 , ap3 , ，
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 am0 ，长度为 q 的递增子列的末项的最小值为 an0 . 若 p<q，求证： am0 < an0 ；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{an}的长度为 s 的递增子列末项的最小值为 2s–1，且长度为 s 末项为 2s–1 的递增子列恰有 2s-1 个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式． 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6. (Ⅱ)见解析； (Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
答案： C 解答：
设该等比数列的首项 a1 ，公比 q ，由已知得， a1q4 3a1q2 4a1 ，
因为 a1 0 且 q 0 ，则可解得 q 2 ，又因为 a1(1 q q2 q3 ) 15 ，
即可解得 a1 1，则 a3 a1q2 4 .
22a1 9d
2a1 4d
2 10d 5d
4.
2
（2019 北京理）10.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2=−3，S5=−10，则 a5=__________，Sn 的最小值为 __________． 【答案】 (1). 0. (2). -10. 【解析】
【分析】
首先确定公差,然后由通项公式可得 a5 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值.
（1）证明： an bn是等比数列， an bn是等差数列；
（2）求 an 和 bn 的通项公式.
答案：
（1）见解析
（2）
an
(1)n 2
n
1 2
， bn
(1)n 2
n
1 2
.
解析：
(1)将 4an1 3an bn 4 ， 4bn1 3bn an 4 相加可得 4an1 4bn1 3an 3bn an bn ，
【详解】等差数列
an
中,
S5
5a3
10 ,得
a32, a23 ,差 da3a2
1,
a5
a3
2d
0
,
2 / 13
由等差数列an的性质得 n 5 时, an 0 , n 6 时, an 大于 0,所以 Sn 的最小值为 S4 或 S5 ,即为 10 .
【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运 算能力的考查.
3 2
，
an
2n
5
，
Sn
n2
4n .
（2019
全国
1
理）14.记
Sn
为等比数列 an 的前
n
项和，若
a1
1 3
，
a42
a6
，则
S5
.
答案：
121 S5 3
解答：
a1
∵
1 3
， a42
a6
设等比数列公比为 q
∴ (a1q3 )2 a1q5
∴q 3
121 ∴ S5 3
2019 全国 2 理)19. 已知数列 an 和 bn 满足 a1 1， b1 0 ， 4an1 3an bn 4 ， 4bn1 3bn an 4 .
（2）由
an bn
是首项为1，公比为
1 2
的等比数列可得
an
bn
( 1 )n1 2
①；
由 an bn是首项为1，公差为 2 的等差数列可得 an bn 2n 1②；
①②相加化简得 an
(1)n 2
n
1 2
，①②相减化简得 bn
(1)n 2
n
1 2
。
(2019 全国 3 理)5.已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为15 ，且 a5 3a3 4a1 ，则 a3 （）
（2019 北京理）20.已知数列{an}，从中选取第 i1 项、第 i2 项、…、第 im 项(i1<i2<…<im)，若 ai1 ai2 aim ， 则称新数列 ai1，a，i2 ， aim 为{an}的长度为 m 的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为 1 的
递增子列． （Ⅰ）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；
3 / 13
据此可得： am0 an0
（2019 全国 1 理）9.记 Sn 为等差数列an的前 n 项和.已知 S4 0 ， a5 5 ，则（
）
A. an 2n 5
答案： A 解析：
B. an 3n 10
C. Sn 2n2 8n
D.
Sn
1 2
n2
2n
依题意有
S4
a5
4a1 6d 0 a1 4d 5
，可得
a1 d
(2019 全国
3
理)14.记 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 a1
0 ， a2
3a1 ，则
S10 S5
.
答案：
4
解析：
设该等差数列的公差为 d ，∵ a2 3a1 ，∴ a1 d 3a1 ，故 d 2a1 a1 0, d 0 ，
∴
S10 S5
10 a1 a10
2
5a1 a5
(Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可； (Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可； (Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可. 【详解】(Ⅰ)满足题意的一个长度为 4 的递增子列为：1,3,5,6.
(Ⅱ)对于每一个长度为 q 的递增子列 a1, a2 ,aq ，都能从其中找到若干个长度为 p 的递增子列 a1, a2 ,ap ，此 时 ap aq ，