1 2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

（1）当0x时，用()ox表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）23()()xoxox （B）23()()()oxoxox （C）222()()()oxoxox （D）22()()()oxoxox

（2）函数||1()(1)ln||xxfxxxx的可去间断点的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （3）设kD是圆域22{(,)|1}Dxyxy位于第k象限的部分，记()kkDIyxdxdy1,2,3,4k，

则（ ） （A）10I

（B）20I （C）30I （D）40I （4）设{}na为正项数列，下列选项正确的是（ ）

（A）若111,(1)nnnnnaaa则收敛 （B）11(1)nnna若收敛，则1nnaa 2

（C）1nna若收敛，则存在常数1P,使limPnnna存在 （D）若存在常数1P，使limPnnna存在，则1nna收敛 （5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若,BABC则可逆，则 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价

（6）矩阵1a1aba1a1与2000b0000相似的充分必要条件为

（A）a0,b2 （B）为任意常数ba,0 （C）0,2ba （D）为任意常数ba,2 （7）设123XXX，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)XN，X0,2），X, {22}(1,2,3),jjPPXj则（ ）

（A）123PPP （B）213PPP （C）312PPP （D）132PPP （8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，

则{2}PXY ( ) 3

（A）112 （B）18 （C）16 （D）12 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.

（9）设曲线)(xfy和xxy2在点)1,0(处有公共的切线，则2limnnnfn________。 （10）设函数),(yxzz由方程xyyzx)(确定，则)2,1(xz________。 （11）求dxxx12)1(ln________。 （12）微分方程041yyy通解为y________。 （13）设ijA(a)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，ijA为ija的代数余子式，若

ijijaA0(i,j1,2,3),____A则 （14）设随机变量X服从标准正态分布~N(0,1)X,则2()XEXe= ________。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

当0x时，1coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小，求n与a的值。 （16）（本题满分10分） 设D是由曲线13yx，直线(0)xaa及x轴所围成的平面图形，,xyVV分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若10yxVV，求a的值。 （17）（本题满分10分） 设平面内区域D由直线3,3xyyx及8xy围成.计算2Dxdxdy。

（18）（本题满分10分） 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为601000QP，（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。 4

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。 （19）（本题满分10分）

设函数()fx在[0,]上可导，(0)0lim()2xffx且，证明

（1）存在0a，使得()1fa （2）对（1）中的a，存在(0,),a使得1'().fa （20）（本题满分11分）

设101,101aABb，当,ab为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。 （21）（本题满分11分） 设二次型22123112233112233,,2fxxxaxaxaxbxbxbx，记112233,ababab。

（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT； （II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型22122yy。 （22）（本题满分11分）

设,XY

是二维随机变量，X的边缘概率密度为23,01,0,.Xxxfx其他，在给定01Xxx的

条件下，Y的条件概率密度233,0,0,.YXyyxfyxx其他 （1） 求,XY的概率密度,fxy； （2） Y的边缘概率密度Yfy. （23）（本题满分11分）

设总体X的概率密度为23,0,0,.xexfxx其它其中为未知参数且大于零，12,NXXX，为来自总体X的简单随机样本.

（1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量. 5

2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

（1）当0x时，用()ox表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）23()()xoxox （B）23()()()oxoxox （C）222()()()oxoxox （D）22()()()oxoxox 【答案】D 【解析】2()()()oxoxox，故D错误。

（2）函数||1()(1)ln||xxfxxxx的可去间断点的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C

【解析】由题意可知()fx的间断点为0,1。又

lnx0x0x0x011lnlim()limlimlim1(1)ln(1)ln(1)lnxxxxexxfxxxxxxxxxx





ln()x0x0x0x0()11ln()lim()limlimlim1(1)ln()(1)ln()(1)ln()xxxxexxfxxxxxxxxxx





lnx1x1x1x111ln1lim()limlimlim(1)ln(1)ln(1)ln2xxxxexxfxxxxxxxxxx





ln()x1x1x1x1()11ln()lim()limlimlim(1)ln()(1)ln()(1)ln()xxxxexxfxxxxxxxxxx





故()fx的可去间断点有2个。 6

（3）设kD是圆域22{(,)|1}Dxyxy位于第k象限的部分，记()kkDIyxdxdy1,2,3,4k，则（ ） （A）10I

（B）20I （C）30I （D）40I 【答案】B 【解析】令cos,sinxryr，则有

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()(sincos)(cossin)3kkDIyxdxdyrdrrrd

故当2k时，,2，此时有220.3I故正确答案选B。 （4）设{}na为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若111,(1)nnnnnaaa则收敛 （B）11(1)nnna若收敛，则1nnaa （C）1nna若收敛，则存在常数1P,使limPnnna存在 （D）若存在常数1P，使limPnnna存在，则1nna收敛 【答案】D 【解析】根据正项级数的比较判别法，当1P时，11pnn收敛，且limPnnna存在，则1nna与11pnn同

敛散，故1nna收敛. （5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC，且C可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价