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高三数学模考易错题汇总

高三数学模考易错题汇总1、已知函数2()1f x ax x =-+,1,1(),111,1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,若函数()()y f x g x =-恰有两个零点,则实数a 的取值范围为( ) A. (0,)+∞ B. (,0)(0,1)-∞ C. 1(,)(1,)2-∞-+∞ D. (,0)(0,2)-∞【答案】B2、已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩,则方程1(2)f x a x +-=(a ∈R )的实数根个数不可能为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个 【答案】A3、已知函数()2||1f x x x a =+-有三个不同的零点,则实数a 的取值范围为【答案】(,-∞4、设11{,,1,2,3}32α∈--,若()f x x α=为偶函数,则α=5、已知函数()f x 的定义域为R ,且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立,若当[0,1]x ∈时,()f x 的值域为[1,2],则当[100,100]x ∈-时,函数()f x 的值域为 【答案】100100[2,2]- 6、已知函数()2f x +=,当(0,1]x ∈时,2()f x x =,若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点,则实数t 的取值范围是【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7、已知向量(cos ,sin )a αα=,(cos ,sin )b ββ=,且3παβ-=,若向量c 满足||1c a b --=,则||c 的最大值为18、设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动,12F F 、是双曲线C 的左、右焦点,则122MF MF MN +-的最小值为( )(A) (B )4 . (C )(D )以上都不对. 【答案】B9、魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( ) (A )16 (B) (C )163 (D )1283【答案】C10、如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4,记1111A C B D F =,11BC B C E =,若AE BF ⊥,则此棱柱的体积为【答案】11、设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -,4()log (31)g x x =+. (1)若1()()f x g x -≤,求x 的取值范围D ; (2)在(1)的条件下,设11()()()2H x g x f x -=-,当x D ∈时,函数()H x 的图像与直线 y a =有公共点,求实数a 的取值范围.【解析】(1))1(log )(21+=-x x f,(x >–1)不等式为)13(log )1(log 42+≤+x x ,⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+∴13)1(013012x x x x解得]1,0[,10=∴≤≤D x . (2))10(113log 21)1(log 21)13(log )(224≤≤++=+-+=x x x x x x H , )123(log 21)(2+-=∴x x H ,当]1,0[∈x 时,123+-x 单调递增,)(x H ∴单调递增, ]21,0[)(∈∴x H ,因此当]21,0[∈a 时满足条件.12、如图所示,某地出土的一种“钉”是由四条线段组成,其结构能使它任意抛至水平面后,总有一端所在的直线竖直向上,并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ,钉尖为i A (1,2,3,4i =).(1)记i OA a =(0a >),当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时,求1OA 与平面123A A A 所成 角的大小(结果用反三角函数值表示);(2)若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为2,要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(耗损忽略不计),共需要该种材料多少米?【解析】(1)根据题意,可知组成该种钉的四条线段长必相等,且两两所成的角相等,4321,,,A A A A 两两联结,后得到的四面体4321A A A A 为正四面体延长O A 4交平面321A A A 于B ,则⊥B A 4平面321A A A ,连接B A 1,则B A 1是1OA 在平面321A A A 上的射影,所以B OA 1∠即为1OA 与平 面321A A A 所成角。

设l A A =41,则l B A 331=在B A A RT 14∆中,2421241B A B A A A +=, 即222223333⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a l a l l ,所以a l 362=,故a a B A 322362331=⨯=322cos 111==∠OA B A B OA (其中<0B OA 1∠2π<),所以B OA 1∠322arccos = 4A 1A 2A 3AOB故1OA 与平面321A A A 所成角的大小为322arccos(2)232321221=⋅A A ……8分 根据(1)可得a A A 36221=,所以4227=a cm⋅1001()4216244100==⋅a a m …13分.答:复制100枚这种“钉”,共需材料42162米13、已知数列{}n a 、{}n b 均为各项都不相等的数列,n S 为{}n a 的前n 项和,11n n n a b S +=+(n ∈*N ).(1)若11a =,2n nb =,求4a 的值; (2)若{}n a 是公比为q (1q ≠)的等比数列,求证:数列1{}1n b q+-为等比数列; (3)若{}n a 的各项都不为零,{}n b 是公差为d 的等差数列,求证:2a 、3a 、⋅⋅⋅、n a 、⋅⋅⋅ 成等差数列的充要条件是12d =. 【解析】(1)由11,2n na b ==,知2344,6,8a a a ===. (2)因为11n n n a b S +=+①, 所以当2n ≥时,111n n n a b S --=+②, ①-②得,当2n ≥时,11n n n n n a b a b a +--=③, 所以111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+, 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭, 又因为101n b q+≠-(否则{}n b 为常数数列与题意不符), 所以1{}1n b q+- 为等比数列。

(3)因为{}n b 为公差为d 的等差数列,所以由③得,当2n ≥时,()1n n n n n a b a b d a +--=, 即()()11n n n n a a b d a +-=-,因为{}n a ,{}n b 各项均不相等,所以10,10n n a a d +-≠-≠,所以当2n ≥时,11n nn n b a d a a +=--④, 当3n ≥时,1111n n n n b a d a a ---=--⑤, 由④-⑤,得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----⑥,先证充分性:即由12d =证明23,,,,n a a a 成等差数列,因为12d =,由⑥得1111n n n n n n a a a a a a -+--=--, 所以当3n ≥时,1111n n n n n n a a a a a a -+-+=--,又0n a ≠,所以11n n n n a a a a +--=- 即23,,,,n a a a 成等差数列.再证必要性:即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d =. 因为23,,,,n a a a 成等差数列,所以当3n ≥时,11n n n n a a a a +--=-,所以由⑥得,11111111n n n n n n n n n n n n a a a a da a a a a a a a d--+----=-==-----所以12d =, 所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =.14、已知椭圆2222:1x y a bΓ+=(0a b >>),1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点,1F 是椭圆左焦点,P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点,△112B F B 是边长为4的等边三角形.(1)写出椭圆的标准方程;(3) 当直线1PB 的一个方向向量是(1,1)时,求以1PB 为直径的圆的标准方程;(3)设点R 满足:11RB PB ⊥,22RB PB ⊥,求证:△12PB B 与△12RB B 面积之比为定值.【解析】(1)221164x y += (2)由题意,得:直线1PB 的方程为2y x =+由2221164y x x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得:21121605,265x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩故所求圆的圆心为84(,)55-,半径为5所以所求圆的方程为:2284128()()5525x y ++-=(3) 设直线12PB PB ,的斜率分别为,'k k ,则直线1PB 的方程为2y kx =+.由11RB PB ⊥,直线1RB 的方程为(2)0x k y +-=.将2y kx =+代入221164y x +=,得()2241160k x kx ++=, 因为P 是椭圆上异于点12B B ,的点,所以P x =21641k k -+. 所以21'4P P y k x k+==- 由22RB PB ⊥,所以直线2RB 的方程为42y kx =-. 由(2)042x k y y kx +-=⎧⎨=-⎩ ,得2441R k x k =+. 所以121220216414441PB B RB B R k S x k S x kk ∆∆-+===+.15、 已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别是1F 、2F ,左、右两顶点分别是1A 、2A ,弦 AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与 y 轴,线段BA 的延长线与线段CD 相交于点 P (如图).(1)若d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量,试求Γ的两渐近线的夹角θ; (2)若||1PA =,||5PB = ,||2PC =,||4PD =,试求双曲线Γ的方程; (3)在(..1.)的条件下.....,且12||4A A =,点C 与双曲线的顶点不重合,直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ,试问:以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点?若是,请求出定点的坐标;若不是,试说明理由.【解析】(1)双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为: 即0bx ay ±=,所以b a =从而tan2θ=22tan 2tan 1tan2θθθ==-,所以arctan θ=(2)设 (,)P P P x y ,则由条件知:11()()322P x PB PA PA PB PA =-+=+=,11()()122P y PC PD PC PD PC =+-=-=,即(3P .所以(2,1)A ,(3,3)C ,代入双曲线方程知:2751,2781199114222222==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-b a ba b a 127527822=-y x (3)因为124A A =,所以2a =,由(1)知,b =Γ的方程为: 22143x y -=, 令00(,)C x y ,所以2200143x y -=,010:(2)2y CA y x x =++,令1x =,所以003(1,)2y M x +,020:(2)2y CA y x x =--,令1x =,所以00(1,)2y N x --, 故以MN 为直径的圆的方程为:200003(1)()()022y y x y y x x --+--=+-, 即222000200033(1)()0224y y y x y y x x x -++--=-+-,即22000039(1)()0224y y x y y x x -++--=-+, 若以MN 为直径的圆恒经过定点),(y x于是⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0231049)1(022y x y x y 所以圆过x 轴上两个定点5(,0)2和1(,0)2-16、已知平面直角坐标系xOy ,在x 轴的正半轴上,依次取点123,,,,n A A A A (n ∈*N ),并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,n B B B B (n ∈*N ),使得1k k k A B A -△(k ∈*N )都为等边三角形,其中0A 为坐标原点,设第n 个三角形的边长为()f n . (1)求(1)f ,(2)f ,并猜想()f n ;(不要求证明)(2)令9()8n a f n =-,记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)m m 内的项的个数,设数列{}m t的前m 项和为m S ,试问是否存在实数λ,使得2m S λ≤对任意m ∈*N 恒成立?若存在,求出λ的取值范围;若不存在,说明理由; (3)已知数列{}n b满足:1b =,1n b +=,数列{}n c 满足: 11c =,1n nc +=,求证:1()2n n n b f c π+<<.【解析】(1)(1)1f =,(2)2f = 猜想()f n n = (2)98n a n =-由21218899899999m m m m n n --<-<⇒+<<+ 112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n 21199m m m t --∴=- 352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=-- 2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S(3)1sin,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==,则1sin sin 2n n θθ+== *1()2n n n N πθ+⇒=∈1tan ,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==,则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈当(0,)2x π∈时,sin tan x x x <<可知: 1111sin()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<=17、若存在常数k (k ∈*N ,2k ≥)、c 、d ,使得无穷数列{}n a 满足1n n nna d ka ncak+⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩**N N ,则称数列{}n a 为“Γ数列”,已知数列{}n b 为“Γ数列”.(1)若数列{}n b 中,11b =,3k =,4d =,0c =,试求2019b 的值;(2)若数列{}n b 中,12b =,4k =,2d =,1c =,记数列{}n b 的前n 项和为n S ,若不 等式43n n S λ≤⋅对n ∈*N 恒成立,求实数λ的取值范围;(3)若{}n b 为等比数列,且首项为b ,试写出所有满足条件的{}n b ,并说明理由.【解析】(1)因为数列{}n b 是“Γ数列”,且11b =,3k =、4d =、0c =,所以当1n ≥,n *∈N 时,310n b +=,又*2016672N 3=∈,即20170b =, 20182017044b b d =+=+=,20192018448b b d =+=+= (2)因为数列{}n b 是“Γ数列”,且12b =,4k =、2d =、1c =()()()414344341434243434312336n n n n n n n n n n b b cb b b d b b d b b d b d +---------=-=⨯+-=+-=+-==则数列前4n 项中的项43n b -是以2为首项,6为公差的得差数列,易知{}4n b 中删掉含有43n b -的项后按原来的顺序构成一个首项为2公差为2的等差数列,41543()n n S b b b -∴=+++()()()()23467846454442414+n n n n n n b b b b b b b b b b b b -----++++++++++++⎡⎤⎣⎦2(1)3(31)26(3)2212822n n n n n n n n --=+⨯+⨯+⨯=+ 43nn S λ≤⋅,43nn S λ∴≤,设2412833n n n nS n n c +==,则()max n c λ≥, 22211112(1)8(1)12824820333n n n n n n n n n n n c c +++++++-++-=-=当1n =时,2248200n n -++>,12c c <;当2n ≥,n *∈N 时,2248200n n -++<,1n n c c +<,∴123c c c <>>,∴()2max 649n c c ==, 即()2max 649n c c λ≥==(3)因为{}n b 既是“Γ数列”又是等比数列,设{}n b 的公比为1n nb q b +=,由等比数列的通项公式有1n n b bq -=,当m *∈N 时,21k m k m b b d ++-=,即()11km km km bq bq bq q d +-=-=① 1q =,则0d =,n b b =; ② 1q ≠,则()1kmd qq b=-,则kmq 为常数,则1q =-,k 为偶数,2d b =-,()11n n b b -=-;经检验,满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-.。

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