市普通高中2020级学生学业水平考试数 学 模 拟 试 题（总分：100分 时间120分钟）一、选择题（共15个小题，每小题3分，共45分）1．若集合{}13A x x =≤≤，集合{}2B x x =<，则A B = （ ） （A ）{}12x x ≤< （B ）{}12x x << （C ）{}3x x ≤ （D ）{}23x x <≤2．tan330︒=（ ） （A（B（C） （D） 3．已知lg2=a ，lg3=b ,则3lg 2=（ ）（A ）a -b （B ）b -a （C ）b a （D ）ab4．函数()sin()4f x x π=-的一条对称轴为（ ）（A ）4x π= （B ）2x π= （C ）4x π=- （D ）2x π=- 5．随机投掷1枚骰子，掷出的点数恰好是3的倍数的概率为 （ ） （A ）12 （B ）13 （C ）15（D ）16 6．在等比数列{}n a 中，若32a =，则12345a a a a a =（ ） （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）7．如果直线ax +2y +1=0与直线x +3y －2=0互相垂直，那么a 的值等于（ ） （A ）6 （B ）－32（C ）－5 （D ）－68．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是（ ）（A ）(,0)12π-（B ）(,0)6π- （C ）(,0)6π（D ）(,0)3π9． 过P(4,-3)且在坐标轴上截距项等的直线有 ）（A ）1条（B ）2条 （C ）3条 （D ）4条 10．为了得到函数x y 2sin 3=，R x ∈的图象，只需将函数)32sin(3π-=x y ，R x ∈的图象上所有的点（ ）（A ） 向左平行移动3π个单位长度 （B ） 向右平行移动3π个单位长度 （C ）向左平行移动6π个单位长度 （D ） 向右平行移动6π个单位长度11.若f (x )是以4为周期的奇函数，且f (－1)=a (a ≠0)，则f (5)的值等于( ).（A ）5a （B ）－a （C ） a （D ）1－a 12．如图，D 是△ABC 的边AB 的三等分点，则向量CD 等于（ ）（A ）23CA AB + （B ）13CA AB + （C ）23CB AB + （D ）13CB AB +13．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 等于 ( )（A ）45 （B ）55 （C ）90 （D ）11014．若221xy+=，则x y +的取值围是( ).CADB15.以下命题（表示,m l 直线，α表示平面）正确的个数有（ ） ①若//,l m m α⊂，则//l α ；②若//,l m αα⊂，则//l m ③若,l m αα⊥⊂，则l m ⊥④若,l m l α⊥⊥，则//m α。

A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个二、填空题（共4道小题，每小题3分，共12分）16．0cos75cos15sin 255sin165-的值是 . 17．若向量(1,),(2,1),a x b a b ==-⊥，则x 的值为 18.函数121()log (21)f x x =+的定义域为19. 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 20．若非负数,x y 满足约束条件024x y x y -≥⎧⎨+≤⎩则x y +的最大值为三、解答题（共5小题，共40分）21．（本小题满分10分）已知直线l 过点（1,2）且与直线:210m x y -+=平行。

（1）求直线l 的方程；（2）求圆22:(1)(1)2C x y -++=的圆心C 到直线l 的距离。

22.（本小题满分8分）已知函数2()2cos 23sin cos f x x x x =- （1）求函数()f x 的最小正周期及单调减区间；（2）在ABC 中，若()1f C =-，sin ,sin ,sin A C B 成等比数列，且()18CA AB AC ⋅-=,求c 的值。

23.（本小题满分8分）已知数列}{n a 中，n S 是它的前n 项和，并且241+=+n n a S ，11=a 。

（1）设n n n a a b 21-=+，求证}{n b 是等比数列 （2）设nnn a C 2=，求证}{n C 是等差数列 （3）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和公式24．（本小题满分8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B B C ⊥，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点. 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面11A FB ⊥平面11BB C C .ABC1B 1C 1A FE25．（本小题满分6分）已知点()0,1A ，,B C 是x 轴上两点，且6BC =（B 在C 的左侧）.设ABC ∆的外接圆的圆心为M .（1）已知4AB AC ⋅=-，试求直线AB 的方程. （2）当圆M 与直线9y =相切时，求圆M 的方程. （3）设12,AB l AC l ==，1221l l s l l =+，试求s 的最大值.市普通高中2020级学生学业水平考试数学模拟试题（总分：100分 时间120分钟）一、选择题（共15个小题，每小题3分，共45分）1．若集合{}13A x x =≤≤，集合{}2B x x =<，则A B = （ A ）（A ）{}12x x ≤< （B ）{}12x x << （C ）{}3x x ≤ （D ）{}23x x <≤2．tan330︒=（ D ） （A（B（C） （D） 3．已知lg2=a ，lg3=b ,则3lg 2=（B ）（A ）a -b （B ）b -a （C ）b a （D ）ab4．函数()sin()4f x x π=-的一条对称轴为（ ）（A ）4x π= （B ）2x π= （C ）4x π=- （D ）2x π=- 5．随机投掷1枚骰子，掷出的点数恰好是3的倍数的概率为 （ B ）（A ）12 （B ）13（C ）15（D ）166．在等比数列{}n a 中，若32a =，则12345a a a a a =（ C ） （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）7．如果直线ax +2y +1=0与直线x +3y －2=0互相垂直，那么a 的值等于（ D ）（A ）6 （B ）－32（C ）－5 （D ）－68．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是（ A ）（A ）(,0)12π-（B ）(,0)6π- （C ）(,0)6π（D ）(,0)3π9． 过P(4,-3)且在坐标轴上截距项等的直线有（ ）（A ）1条（B ）2条（C ）3条 （D ）4条 10．为了得到函数x y 2sin 3=，R x ∈的图象，只需将函数)32sin(3π-=x y ，R x ∈的图象上所有的点（ ）（A ） 向左平行移动3π个单位长度 （B ） 向右平行移动3π个单位长度 （C ）向左平行移动6π个单位长度 （D ） 向右平行移动6π个单位长度11.若f (x )是以4为周期的奇函数，且f (－1)=a (a ≠0)，则f (5)的值等于( ).（A ）5a （B ）－a （C ） a （D ）1－a 12．如图，D 是△ABC 的边AB 的三等分点，则向量CD 等于（ B ）（A ）23CA AB +（B ）13CA AB + （C ）23CB AB + （D ）13CB AB + 13．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 等于 ( B )（A ）45 （B ）55 （C ）90 （D ）11014．若221xy+=，则x y +的取值围是( ).A. []0,2B. []2,0-C. [2,)+∞D. (],2-∞- CADB①若//,l m m α⊂，则//l α ；②若//,l m αα⊂，则//l m ③若,l m αα⊥⊂，则l m ⊥④若,l m l α⊥⊥，则//m α。

A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个二、填空题（共4道小题，每小题3分，共12分）16．0cos75cos15sin 255sin165-的值是 . 17．若向量(1,),(2,1),a x b a b ==-⊥，则x 的值为 18.函数121()log (21)f x x =+的定义域为19. 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为解析：该几何体是三棱柱中截去一个棱锥，三棱柱的底面边长为2，高是2，截去的三棱锥底面边长是2，高是1，所以该几何体的体积是V ＝12×2×3×2－13×12×2×3×1＝53320．若非负数,x y 满足约束条件024x y x y -≥⎧⎨+≤⎩则x y +的最大值为三、解答题（共5小题，共40分）21．（本小题满分10分）已知直线l 过点（1,2）且与直线:210m x y -+=平行。

（1）求直线l 的方程；（2）求圆22:(1)(1)2C x y -++=的圆心C 到直线l 的距离。

22.（本小题满分8分）已知函数2()2cos 23sin cos f x x x x =- （1）求函数()f x 的最小正周期及单调减区间；（2）在ABC 中，若()1f C =-，sin ,sin ,sin A C B 成等比数列，且()18CA AB AC ⋅-=,求c 的值。

23.（本小题满分8分）已知数列}{n a 中，n S 是它的前n 项和，并且241+=+n n a S ，11=a 。

（1）设n n n a a b 21-=+，求证}{n b 是等比数列 （2）设n nn a C 2=，求证}{n C 是等差数列 （3）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和公式解：（1）111124+-++++=+=n n n n n a a a S S ∴ 112424+-++=+n n n a a a ∴ )2(2211-+-=-n n n n a a a a 即：)2(222111≥=--=-+-n a a a a b b n n nn n n 且32121=-=a a b ∴ }{b 是等比数列（2）}{n b 的通项11123--⋅=⋅=n n n qb b ∴ )(4322222*111111N n b a a a a C C n n n n n n n n n n n ∈==-=-=-++++++ 又21211==a C ∴ }{n C 为等差数列 （3）∵ d n C C n ⋅-+=)1(1 ∴43)1(212⋅-+=n a n n ∴ )(2)13(*2N n n a n n ∈⋅-=-22)13(22)13(42421+⋅-=+⋅-⋅=+⋅=-+n n n n n n a S ∴ )(22)43(*1N n n S n n ∈+-=-24．（本小题满分8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B B C ⊥，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点. 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面11A FB ⊥平面11BB C C .证明：∵ E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，∴ //EF BC .又 EF ⊄平面ABC , AB ⊂平面ABC , ∴ EF ∥平面ABC .（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面111A B C ,∵ 11A B ⊂平面111A B C , ∴ 111A B BB ⊥. 又 1111A B B C ⊥，1111,BB B C B =111,BB B C ⊂平面11BB C C .∴ 11A B ⊥平面11BB C C .又11A B ⊂平面11A FB ，∴ 平面11A FB ⊥平面11BB C C .25．（本小题满分6分）已知点()0,1A ，,B C 是x 轴上两点，且6BC =（B 在C 的左侧）.设ABC ∆的外接圆的圆心为M .（1）已知4AB AC ⋅=-，试求直线AB 的方程. （2）当圆M 与直线9y =相切时，求圆M 的方程. （3）设12,AB l AC l ==，1221l l s l l =+，试求s 的最大值. 解：（１）设(),0B a ，则()6,0C a +． (),1AB a =-，()6,1AC a =+-，由4AB AC ⋅=-得()614a a ++=-，解得：15a =--或，ABC1B 1C 1A FEyCBA M（２）设圆心为(),a b ，半径为r ，则,,9,r r b r ==-=⎪⎩解之得：4,4,5a b r =±==，所以，圆M 的方程为()()224425x y ±+-=． （３）设()()3,0,3,0B m C m -+，则12l l ==所以，22212122112210m l l l l s l l l l ++=+==≤，等号当且仅当m =时取得．。