-最短距离问题
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第三讲 最短距离问题 一.考情分析 中考分值 近五年杭州中考中,有一年考察此知识点,分值为6分,占全卷的5% 考查方式 此知识点在各种题型中都可以进行考察,虽然杭州中考考察的不多,但在平时的月考、
期中考试中,考察次数很频繁,在浙江其它城市的中考中,考察的次数也很多。
相信在以后的杭州中考中,此知识点必将重点考察。
二.知识回顾
几何模型1
条件:如图,A 、B 是直线l 同旁的两个定点.
问题:在直线l 上确定一点P ,使PA PB +的值最小.
方法:作点A 关于直线l 的对称点A ',连结A B '交l 于点P ,
则PA PB A B '+=的值最小
几何模型2
条件:如图,A 、B 是直线l 异侧的两个定点.且A 、B 到l 距
离不相等
问题:在直线l 上确定一点M ,使MA MB -的值最大
方法:作点B 关于直线l 的对称点B ',连结AB '交l 于点
0M ,则MA MB MA MB AB ''-=-=的值最小
三.重点突破
类型一:题中出现一个动点
(A )【典型例题1】在正方形ABCD 中,点E为BC 上一定点,且BE=10,CE=14,P 为BD 上一动点,求PE+PC 最小值。
(A)【典型例题2】已知:直线112y x =+与y 轴交于A ,与x 轴交于D,抛物线212
y x bx c =++与直线交于A 、E两点,与x 轴交于B、C 两点,且B 点坐标为 (1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点M ,使||AM MC -的值最大,求出点M的坐标.
〖搭配练习〗
(A )1.已知:抛物线的对称轴为x=-1与x 轴交于A B ,两点,与y 轴交于点C ,
其中()30A -,、()02C -,.
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得PBC △的周长最小.请求出点P 的坐标
类型二:题中出现两个动点
(B )【典型例题3】如图:
在△AB C中,20A ∠=,10AB AC ==,M 、N 分别AB,AC 上动点,求BN+MN+MC 最小
值
(B)【典型例题4】如图,矩形ABC D中,AB=20,BC=10,若AC,A
B是各有一个动点M,N ,求BM+MN 最小值.
〖搭配练习〗
(B)1.恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧,50km AB A =,、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,图8是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直,垂足为P ),P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+,图9是方案二的示意图(点A 关于直线X 的对称点是A ',连接BA '交直线X 于点P ),P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+.
(1)求1S 、2S ,并比较它们的大小;
(2)请你说明2S PA PB =+的值为最小;
(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直,建立如图10所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km ,请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
(B)2.如图,在锐角ABC △中,4245AB BAC =∠=,°,BAC ∠的平分线
交BC 于点D M N ,、分别是AD 和AB 上的动点,则BM MN +的最小值是
________.
类型三:题中出现三个动点时
(B )【典型例题5】如图,在菱形ABCD 中,A B=2,∠BA D=60°,E,F,
P分别为AB,BC,AC 上动点,求PE+PF 最小值
〖搭配练习〗
(B)如图,∠AOB=45°,角内有一动点P ,PO=10,在AO ,BO 上有两动点Q,
R ,求△PQ R周长的最小值
类型四:综合压轴
(C )【典型例题6】如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、C M.
⑴ 求证:△AMB≌△E NB ;
⑵ ①当M 点在何处时,A M+CM 的值最小;
②当M 点在何处时,A M+BM+CM 的值最小,并说明理由;
⑶ 当AM+BM+CM的最小值为13+时,求正方形的边长.
〖搭配练习〗
(C)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为
()
6,0
A-,()
6,0
B,()
0,43
C,延长AC到点D,使CD=1
2
AC,过点D作DE
∥AB交BC的延长线于点E.
(1)求D点的坐标;
(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线
y kx b
=+将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析
式;
(3)设G为y轴上一点,点P从直线y kx b
=+与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。
(要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明)
课后作业
基础训练题(A类)
1、如图,AC、BD为正方形ABCD对角线,相交于点O,点E为BC边的中点,正方形边长为2cm,在BD上找点P,使EP+CP之和最小,且最小值为________。
2、(1)如图17,等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边上的一动点,则PB+PE的最小值为;
(2)几何拓展:如图18, △ABC中,AB=2,∠BAC=300,若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小,这个最小值为 ;
3、如图19所示,正方形ABCD 的面积为12,ABE △是等边三角形,点E 在正方形
ABCD 内,在对角线AC 上有一点P ,使PD PE +的值最小,则这个最小值为
( )
A .23
B .26 C.3 D.6
4、如图20,已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD =2,BC =DC=5,点P 在BC 上移
动,则当PA +PD 取最小值时,△AP D中边AP 上的高为( )
A 、17172
B 、17174
C 、 17178
D 、3 提高训练(B 类)
1、如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点B 的坐标;
(2)求经过A 、O、B 三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)
2、如图,抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的坐标为4313⎛
⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
,,交x 轴于A 、B两点,交y轴于点(03)C -,
. (1)求抛物线的表达式.
(2)把△ABC 绕AB 的中点E旋转180°,得到四边形ADBC .判断四
边形AD BC 的形状,并说明理由.
(3)试问在线段AC 上是否存在一点F ,使得△FBD 的周长最小,若存在,请写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.
综合迁移(C类)
1、如图,已知点A (-4,8)和点B (2,n )在抛物线2y ax =上.
(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标,并在x 轴上找一点Q ,使得AQ +Q B最短,求出点Q 的坐标;
(2) 平移抛物线2y ax =,记平移后点A 的对应点为A′,点B 的对应点为B ′,点C (-2,0)和点D (-4,0)是x 轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A ′C+C B′ 最短,求此时抛物线的函数解析式;
② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A ′B′CD 的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
ﻬ2、定义一种变换:平移抛物线1F 得到抛物线2F ,使2F 经过1F 的顶点
A .设2F 的对称轴分别交12F F ,于点D
B ,,点
C 是点A 关于直线B
D 的对称点.
(1)如图24,若1F :2
y x =,经过变换后,得到2F :2y x bx =+,点C 的坐标为(20),,则 ①b 的值等于______________;②四边形ABCD 为( )
A .平行四边形
B .矩形
C .菱形
D .正方形
(2)如图25,若1F :2y ax c =+,经过变换后,点B 的坐标为(21)c -,,求ABD △的面积;
(3)如图26,若1F :2127333
y x x =-+,经过变换后,23AC =,点P 是直线AC 上的动点,求点P 到点D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值.。