D
a:=0..1;
b:=x-1..-x+1;
f:二exp(x+y);
int(f,y=b);
in t(i nt(f,y二b),x二a);
simpliW)；
3、如果二重积分f (x,y)d的被积函数f (x, v)是两个函数f'x)及f2(v)的乘积，即
D
f (x, V) f1(x)f2(v),积分区域D {( x, v) |a x b,c y d},证明这个二重积分等于两个单 积分的乘积，即
bd
f (x, v)df1(x)dxf2(v)dv.
ac
D
精心整理
bdb
f)(x)f2(y)dy dxf1(x)dx
ln2 2
0dyeyf (x,y)dx.
所围成的闭区域
2 2
ay
0f(x, y)dx.
y 3
图形
于是
D
(II)由于D {( x, y) | x2
y.R
D
2x2
y2d
2
y
0
R2}关于x轴对称，且f(x,y) y_R2x2y2为y的奇函数，于是
(III)
{(x,y)|x2y2
R2}关于x轴对称,且f(x,y)
3
y
1x y
3
y cosx
d1 x2y2
3
,
精心整理
(1)Il(x y)2d与I2(X y)3d，其中D是由x轴、y轴与直线x y 1所围成；
2
I1ln(x y)d [lnΒιβλιοθήκη x y)] d I2.DD
4
(1)I xy(x y 1)d,
D
其中D {(x,y)|0 x 1,0 y 2}；
x
0dx0xcosx y)dy0x(sin2x sinx)dx
2、画出积分区域，并计算下列二重积分:
(1)x、/Vd，其中D是由两条抛物线Vjx,v x2所围成的闭区域;
DD
解：由于在D内,0 x y 1,有0 (x y)3(x y)2,所以
I2(x y)3d(x y)2dIi.
DD
⑵Iiln(x y)d与I2[ln(x y)]2d,
DD
其中D {(x,y)|3 x 5,0 y 1}.
解：由于在D内,e 3 x y 6有ln(x y) 1,|n(x y) [In(x y)]2,所以
D
⑵当积分区域D关于y轴对称，f (x, y)为x的偶函数，即f(x, y) f (x, y)时，有
f (x,y)d 2 f (x, y)d，其中D1为D在x 0的部分.
DD1
并由此计算下列积分的值，其中D {(x,y)|x2y2R2}
(1)
⑵由于
⑴由于D {( x, y)|x2y2R2}关于y轴对称，且f (x, y) xy4为x的奇函数,
第九章二重积分
习题
1、 设Il(x2y2)3d,
Di
其中Di{(x,y)| 1 x 1, 2 y 2}；又I2(x2y2)3d,
D2
其中D2{(x,y)|O x 1,0 y 2},
试利用二重积分的几何意义说明
解：由于二重积分
2
(1)当积分区域D关于y轴对称，f (x,y)为x的奇函数，即f( x, y) f(x, y)时，有f(x,y)d 0;