第3.4节 向量组的极大 线性无关组
主要内容: 一．等价向量组 二．向量组的极大线性无关组 三 ．向量组的秩与矩阵秩的关系
一、等价向量组
定义1：如果向量组 A : 1,2 , ,m 中的每一个向量 i (i 1, 2, , t )都可以由向量组 B : 1, 2 , , s
线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示，就称 向量组A与向量组B等价。
,
3
1 0
,
4
4
5
000来自0可以验证 1, 2 , 4 线性无关，
而
3
7 2
1
1 2
2
04
所以向量组 1, 2 , 3 , 4 的一个极大无关组是 1, 2 , 4
所以向量组 1, 2 , 3 , 4 的秩是3，
所以矩阵A的列秩是3。
? 问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩
即
i ki1 1 ki2 2 kis s i 1,2,, m 1 i li11 li2 2 lim m i 1,2,, s 2
向量组的等价关系具有以下三个性质：
（1）自反性：一个向量组与其自身等价； （2）对称性：若向量组 A 与 B 等价，则 B 和 A 等价； （3）传递性：A 与 B 等价, B 与 C 等价，则 A 与 C 等价。
定理1：设1,2 , , s 与 1, 2 , , t 是两个向量组，如果 (1) 向量组1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示；
(2) s t 则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
推论1：如果向量组1 , 2 , , s可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示，并且 1,2 , , s 线性无关，那么 s t
推论2 任意m(m>n)个n维向量必线性相关.
推论3 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。
二、向量组的极大线性无关组
定义2: 对向量组A，如果在A中有r个向量 1,2 , ,r
满足：
（1）A0 :1,2 , ,r 线性无关。 （2）A中的任一向量都能由 A0 :1,2 , ,r 线性 表示。
那么称部分组 A0 为向量组 A 的一个极大线性无关组。
可知 k1 k2 k3 0, 即 1,2 ,3 线性无关； 而 4 为零向量，包含零向量的向量组线性相关， 1,2 ,3 ,4 线性相关。
所以向量组 1,2 ,3 ,4 的秩为3，
所以矩阵A的行秩为3。
（2） 矩阵A的列秩是3
矩阵A的列向量组是
1 1 3 1
1
0 0
,
2
2 0
引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
（列）
（列）
引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
（列）
（行）
综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理4：矩阵的行秩＝矩阵的列秩
证：任何矩阵A都可经过初等变换变为
Er 0
而它的行秩为r，列秩也为r。
0
0
形式，
又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，
注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
基本性质： 性质1： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 性质2： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
定理2： 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。
2 4 2
例1：在向量组
1
1 3
,
2
2 5
,
3
1中，
称为这个向量组的秩, 记作 r(1,2 , , s )
2 4 2
例如：
向量组
1
1 3
,
2
2 5
,
3
1 4
的
1
4
1
秩为2。
注：
（1）零向量组的秩为0。
（2）向量组 1,2 , , s 线性无关 r(1,2 , , s ) s 向量组 1,2 , , s 线性相关 r(1,2 , , s ) s
所以，A的行秩＝r＝A的列秩
定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。 记为r(A),或rankA，或秩A。
推论1： 矩阵A的初等行变换不改变矩阵A的列向量组
的线性相关性和线性组合。
推论2：
设A为m n矩阵，则有 （1）r( A) m A的行向量组线性无关
（3）如果向量组 1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t
线性表示，则
r(1,2 , , s ) r(1, 2 , , t )
定理3 等价的向量组有相同的秩。
该逆命题不成立。
如 （1，0） ， （1，1）
R（） R（） 1 但 , 不等价。
2. 矩阵的秩
2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被 认为由这些 行向量组成，
把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被 认为由这些列向量组成。
定义4：
矩阵的行向量组的秩，就称为矩阵的行秩;
矩阵的列向量组的秩，就称为矩阵的列秩。
1 1 3 1
例2：讨论矩阵
A
0
0
2 0
1 0
4
5
的行秩和列秩
0
0
0
0
（1） 矩阵A的行秩为3
矩阵A的行向量组是
1 (1,1, 3,1) 2 (0, 2, 1, 4) 3 (0, 0, 0, 5) 4 (0, 0, 0, 0)
（1） 矩阵A的行秩为3
可证 1,2 ,3 是A的行向量组的一个极大无关组
因为，由 k11 k22 k33 0
即 k1(1,1, 3,1) k2(0, 2, 1,4) k3(0,0,0,5) (k1, k1 2k2 , 3k1 k2 , k1 4k2 5k3 ) (0,0,0,0)
4
1
4
1
（1） 首先 1,2 线性无关， 又 1,2 ,3 线性相关，
所以 1,2 组成的部分组是极大无关组。
还可以验证 2 , 3 也是一个极大无关组。
（2）
1
,
2与
1，
2，
等
3
价
2
,
3与
1，
2，
等
3
价
1
,
2与
2，
等
3
价,
且
都
含
有2个
向
量
三、向量组的秩与矩阵秩的关系
1. 向量组的秩
定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数
简称极大无关组。
注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
2 4 2
例1：在向量组
1
1 3
,
2
2 5
,
3
1中，
4
1
4
1
首先 1,2 线性无关， 又 1,2 ,3 线性相关，
所以 1,2 组成的部分组是极大无关组。
还可以验证 2 , 3 也是一个极大无关组。