(x
xi )3
1 4 f 4! x4
(x
xi )4
在式 2.2.1 中，分别取 x xi h, x xi h ,
得
2.2.1
f h2 2 f h3 3 f h4 4 f
fi1, j
fi, j
h( ) x
2
x2
6
x3 24 x4
fi1, j
fi,
j
h( f x
)
h2 2
2 f x2
h3 6
x
f y
fi1, j1
fi1, j1 fi1, j1 4hl
fi1, j1
2.2.14
4 f x 2 y 2
2 x2
2 f
y 2
1 h2l 2
( fi1, j1 2 fi1, j
fi1, j1 2 fi, j1 4 fi, j
2 fi, j1 fi1, j1 2 fi1, j fi1, j1 )
3 f y3
fi2, j 2 fi1, j 2 fi1, j 2l 3
fi2, j
2.2.12
4 f y 4
fi2, j 4 fi1, j 6 fi, j 4 fi1, j l4
fi2, j
另外，利用式样2.2.6 至 2.2.9， 可以导出混合导数的中心差分公 式
2.2.13
2 f xy
位于V内的结点称为内结点，位于V和S以外的结点称为外部结点，如图2-1所示。
除特殊情况外，我们一般只考虑位于V内和S上（简记为V+S）的结点，即内部结
点和边界结点。结点 xi , yi 简记为i, j
，函数f在此点的值简记为fi, j 。
y
外部虚拟结点
内部结点
边界结点
xi , yi
S
x0, y0
V
l
h
x
0
图2-1 差分网格的划分
导数的差分公式可从函数的Taylor级数展开式导出。以二元函数f x, y 为
例，在点 xi , yi 附近，函数 f x, y 沿x 方向可以展为Taylor级数如下：
f
x,
y
fi, j
f x
(x
xi )
1 2 f 2! x2
(x
xi )2
1 3 f 3! x3
3 f x3
2 f x2
f x
fi2, j 2 fi1, j 2 fi1, j 2h3
fi2, j
4 f x4
2 f x2
2 f
x2
fi2, j 4 fi1, j 6 fi, j 4 fi1, j h4
fi2, j
2.2.10 2.2.11
同样，利用式2.2.8 和2.2.9， 可得
3 f x3
h4 4 f 24 x4
2.2.2 2.2.3
假定h是充分小的，因而可以不计它的三次幂及更高次幂 的各项，则 式2.2.2及式2.2.3 简化为：
fi1, j
fi, j
h(f ) x
h2 2
2 f x2
fi1, j
fi, j
h(f ) h2 x 2
2 f x2
联立求解 f 及 2 f ，得差分公式 ： x x2
2.2.15
例如，我们可以在式 2.2.2 中把 h2 的项也略去不计，得出
f fi1, j fi, j
x
h
2.2.16
h 或者把式2.2.3 中的 2 项也略去不计，则得
f fi, j fi1, j
x
h
2.2.17
它们分别称为一阶导数的向前、向后差分公式。以这两个公式化为基础， 可以导出高阶导数向前向后的差分公式。这种差分公式虽然比较简单，但 除了对时间进行差分以外，很少采用。因为它们不具有对称性，应用时容
i, j为整数
其中x0 , y0 为x-y平面上任意一点，它可在区域V内，亦可在V外。h 为x方向
步长，l 为y方向步长。这两组平行线的交点称为结点。这两组平行线在V内组成的
网格称为差分网格，若l h称为矩形网格，l=h 则称为正方形网格。沿x和y方向
距离均不超过一个步长的两结点称为相邻结点。位于边界S上的结点称为边界结点，
2.2.4 2.2.5
f fi1, j fi1, j
x
2h
2 f x2
fi1, j 2 fi, j h2
fi1, j
2.2.6 2.2.7
在y方向，同理可得
f fi1, j fi1, j 2 fi, j fi1, j
y 2
l2
2.2.8 2.2.9
公式2.2.6 至2.2.9是基本的中心差分公式，可以从它们导出其他的中心 差分公式。例如，利用式2.2.6 和 2.2.7 可得
第二章 有限差分法
概述
差分法的基本思想是用差分网格离散求解域，用差分公式将科学问题的控制 方程（常微分方程或偏微分方程）转化为差分方程，然后结合初始及边界条件， 求解线性代数方程组。由于这种方法比较直观，容易编制程序，所以从20世纪40 年代以来，至今仍被广泛应用。
有限差分法最早是被用于工程科学。40年代后期，土工中的渗流及固结问题 开始采用差分法成功地解决了某些实际问题，如如土坝渗流及浸润线的求法，土 坝及地基的固结等；20世纪50年代及60年代初，弹性地基上的梁与板以及板桩也 用差分法来求解。60年代以后，由于有限元解法的灵活性以及边界元法的异军突 起，使差分法在土工中的应用暂时趋于停滞。然而在最近几年，差分法又有了新 进展。任意网格的差分，使这老方法又可以与有限元相匹敌。另外，在某些特定 的条件下，有限元法与差分法及边界元相结合来处理一个课题，比它们各自求解 更显出优越性。
总之，由于有限差分法的使用以及它与其它方法的相互配合，使求解 土工及其他工程学科课题又达到了一个新阶段，使数值方法解决问题的能 力提高到新的水平。
在应用有限差分法分析土工问题时需要重视下述三个问题：
1. 如何选取差分格式将控制微分方程离散成差分方程； 2. 如何保证差分方程的稳定性和收敛性； 3. 如何求解差分方程组。
易发生差错，而且h把2 l 2或 的项略去不计，精确度也较差。
又例如，我们还可以在式2.2.1中，分别取 x xi 2h, x xi 2h 得
fi2, j
fi,
j
2h
f x
2h2
2 f x2
前两个问题将在2.2和2.3节中介绍，第三个问题结合解题步骤在2.4 节介绍。最后通过一个实例分析介绍有限差分法的具体应用。
差分公式推导
建立差分公式前先要将求解域划分差分网格。以图2-1所示二维问题为例，在xy平面上作分别平行于x轴和y轴的两组平行线：
xi x0 ih y j y0 jl