k
个
b，有
C
k n
种；
……
b
n
项是从
n
个因式中都取
b，有
C
n n
种．
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n N * )
( a b ) n C n 0 a n C 1 n a n 1 b C k n a n k b k C n n b n ( n N * )
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
a4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) a 3b a 3b a 3b a 3b
注意 某项的二项式系数与该项的系数的区别
练习： 求 ( x 1 ) 9的展开式中 x 3 的系数． x
解：
T k1C 9 kx9k(1 x)k= (1)kC 9 kx92k
令 9 2k 3 ，可得 k 3
所以
x3
的系数是
(
1)3
C
3 9
84
．
回顾总结
二项式定理，通项，二项式系数；
由特殊到一般；观察、归纳、类比、 猜想、证明．
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab aaaa aaab aab b ab b b
bbbb
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)n (1a4b4)(4a42b)4L4(a443b)
n
展开式的每一项都是从这 n 个因
aaaababbbba各式aa项中ab是各ab取关bb一于ba个aaa字,abb母a的b相bnb乘ab次a得a单到ab项．ab式bbbaaaababbbb
问题4：请写出 (a b)n 的展开式.
(ab)n( a b ) a ( b ) (a b)
证明： （项的系数）
n

a
n
项是从
n
个因式中都不取
b，有
C
0 n
种；
a
n1b
项是从
n
个因式中取
1
个
b，有
C
1 n
种；
a b n2 2
项是从
n
个因式中取
2
个
b，有
C
2 n
种；
……
a nk bk
项是从
n
个因式中取
(a b )(a b )(a b )展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
a3 a2b ab2 b3 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的三次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(12x)5 C 5 0C 5 1( 2x)C 5 2( 2x)2C 5 3( 2x)3C 5 4( 2x)4C 5 5( 2x)5 110x40x280x380x432x5
例2：求 ( x 1)10展开式中第6项的二项式系数．
解：
二项式系数为
C
5 10
=
2
5
2
．
求展开式第6项的系数． T 6 C 1 5 0 x 1 0 5 ( 1 )5 2 5 2 x 5 所以系数为-252．
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学 家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一 位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．
(a b)2 a22abb2
(a b)3 a33 a2b3 a b2b3 (a b)4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
展开式的每一项都是从 这四个因式中各取一个
a4 a3b a2b2 ab3 b4 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的四次单项式
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b )(a b )(a b )展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个 字母相乘得到．
b3 1个b3
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
aa3b4 4个1个a3ab4
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(ab)2a22abb2 (a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 ( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a22abb2
(a b)3
(a b )(a b )(a b )展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
字母相乘得到．
a2b
a2b
a2b
3个a2b
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b )(a b )(a b )展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
字母相乘得到．
ab2 ab2
ab2
3个ab2
(1)展开式共有n+1项． (2)各项的次数都等于二项式的次数n；
字母a按降幂排列,次数由n递减到0； 字母b按升幂排列,次数由0递增到n． (3)二项展开式的通项：
Tk1Cn kankbk 其 中 k { 0 ,1 ,L ,n }
(4)二项展开式中,系数 C n k(k0,1,,n)叫作二项式系 数,即 C n 0,C 1 n,C n 2,,C n n
(a b)3
(a b )(a b )(a b )
a2b
a2b
a2b
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b )(a b )(a b )
ab2
ab2
ab2
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b )(a b )(a b )
b3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3 a33 a2b3 a b2b3
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
a2b2 C 462 个a2b2
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
a4
a3b
a2b2
M
(a b)9
M
? (a b)n
问题1：归纳猜想 (a b)n 的展开式有什么规律？
(ab)2a22abb2 (a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 ( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
二项式定理
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b L C n k a n k b k L C n n b n n N
(1 x )n 1 C n 1 x L C n k x k L x n
例1： 求 (1 2 x)5 的展开式． 解：
课下作业
一、P36: 1~3
二、1.求 ( x 3 )12 的展开式的中间一项； 3x
2.求 (1
1 )10 2x
展开式中含
1 x5
的项的系数．
思维延伸：
探究 (a b c)5 的展开式中 a2b2c 的系数．
谢 谢！
(ab)(ab)
a2 ab ba b2 1个a2 2个ab 1个b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b )(a b )(a b )展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个 字母相乘得到．
a3 1个a3
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(ab)2a22abb2 (a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 ( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)2 a22abb2
(ab)(ab) a2 ab ba b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的二次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b )(a b )(a b )
a3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab3
b4
C
10 个a4
4
C
41 个a3b
4
C 462 个a2b2
C 443 个ab3
C
14 个b4
4
问题4：请写出 (a b)n 的展开式.
(ab)n( a b ) a ( b ) (a b)
n
证明： （项的结构） 各项是从 n 个因式中各取一个字母相乘得到关于 a, b