停车场的泊位设计数学建模学号：1407022046 班级：14数学与应用数学2班姓名：刘桃摘要：“停车场的泊位设计”数学模型是利用数学模型的计算来规划出一种使用更合理、利用率高的停车场车位停泊方案。

近几年来，随着人们生活水平的提高，私家车的数量越来越多，汽车的停泊就成为一个越来越重要的问题，如果汽车停泊问题不能合理的解决，将会影响到汽车的使用。

许多大型公司或者是商场门前，都设有自己的停车场，停车场的面积是有限的，而我们希望的就是在这有限的面积内尽可能停放更多的汽车。

当然，停放尽可能多的汽车只是建造停车场时一个需要解决的问题，一个比较成功的停车场还需要具备的就是良好的汽车疏导能力，这就需要在停车场设计时更合理的安排汽车的停放位置。

当停车场面积一定的时候，合理安排空间使得更多的车辆能够停泊进来。

此次建立的模型是通过探究车辆停放角度与停车场面积的方程，继而对面积函数进300*100m的停车场最佳泊位情况，进而行求解，得到车位最佳设计角度，解出2推广到一般的2*s tm,同时对车型进行分类，分别计算小轿车、小型车、大型车三种停车情况。

关键词：车辆停放角度；层次分析；最优方案。

正文1、问题重述1.1自20世纪90年代以来, 我国经济呈现出持续高速发展态势, 家用小汽车更以惊人的发展速度进入普通居民家庭。

但人们在享受汽车所带来的便利和快捷的同时, 又必须面对由此所引发的一系列问题, 其中停车问题就是越来越突出的问题之一。

停车场泊车位规划是指在有限的空间区域内，设计车位布局，尽可能多地发挥空间效率与时间效率。

停车泊位设计考虑的因素较多，如平均车位占面积，车辆出入泊位难易程度，停车场内部道路畅通程度等等。

请设计一个完整的指标体系对停车场效度进入评价。

现有如图1所示的停车场，请你设计该停车场的泊车位设计方案；如果图1中的停车场宽度和长度分别为未知量,s t米，请你重新设计你的方案。

100米300米3米停车场图1某地面停车场示意图1.2停车场的整体规划。

停车场在车库中出出入入，如果没有一个合理的整体规划，那么汽车出入的效率将会很低，这不是一个合理的停车场应出现的。

什么样的规划才是比较合适的方案呢？不同的车型停车方案又是什么样的呢？图2汽车型号长度表图3汽车与汽车之间以及汽车与墙、柱之间的间距2、合理假设与变量约定2.1合理假设（1）进入停车场的车型只考虑小型车；（2）假设每辆车都能够按规定停车，不超出车位线。

2.2变量约定 表1 变量约定符号符号说明θ车辆停放角度 n 一区车位数 l 一区长度 a 车位长度R 准则层成对比较矩阵的特征向量 B各准则层下的成对比较矩阵 i b 矩阵A 每行元素的积ic (1,2,...,)i b n n 的次方根。

iω 对向量12(,,,)Tn C c c c = 作的归一化处理maxλ最大特征根3、模型建立考虑到汽车从通车道驶入车位一般得转弯，所以车辆的最小转弯半径也是停车场设计所要考虑的重要参数。

所谓最小转弯半径，就是汽车转弯时转向中心到汽车外侧转向车轮轨迹间的最小距离。

根据实际调查，可设小轿车的最小转弯半径为1 5.5C =米，与此同时，汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨迹间的最小距离为21 1.7 3.8C C =-=米，如图4所示。

对于每一个车位，为了便于该车位上的小轿车自由进出，必须有一条边是靠通道的，设该矩形停车位的长边与通道的夹角为(0)2πθθ≤≤，其中2πθ=便是车辆垂直从通道驶入车位，0θ=就是车辆从通道平行驶入车位，即平时所说的平行泊车。

为了留出通道空间和减少停车面积，显然，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，如图5所示。

图4图5上图中，小轿车是自东向西行驶顺时针转弯θ角度驶入车位的。

我们来具体研究一下小轿车驶入车位的情况，见图3，其中1C 为最小转弯半径，R 为通道的最小宽度。

我们假定小轿车的最外端在半径为1C 的圆周上行驶，且此时轿车的最内端在半径为2C 的圆周上随之移动，然后以θ角度进入停车位，所以通道的最小宽度12cos R C C θ=-。

在保证车辆能够自由进出的前提下，本着要求通道宽度尽量小的原则，我们来看一下一排车位之间的各个数据，见图7。

图64、模型求解4.1 小轿车停车位最佳角度的求解每辆车均以角度θ停放，用W 表示小轿车停车位宽度，L 表示小轿车停车位长度（这里L 的最上方并没有取到最上端是考虑到车身以外的小三角形区域可以留给对面停车位使用），oL 表示停车位末端的距离，易见他们分别是停车角θ的函数，且有sin WC W θ=1sin cos 2L W L C C θθ=+ 01(cot )cos 2L W L C C θθ=+ 11cos 2W L C θ=现在按照图7所示，计算一下每辆车占据的停车场面积()S θ.考虑最佳排列的极限情况，假设该排车位是无限长的，可以忽略该排车位两端停车位浪费掉的面积012L L •，因为它们被平均到每个车位上去的公摊面积很小，可以不计。

从车辆所占的停车位来看，它占据的面积为W L •，另外，它所占的通道的面积为W R •。

考虑到通道对面（也就是图4的下部）也可以有类似的一排车位可以相互借用此通道，所以可以对占用的通道面积减半，于是我们得到：图7()212cos cos 122sin 2sin 2sin W W W W L C C C C C S WL WR C C θθθθθθ=+=++-（1）我们的目标就是求出()S θ的最小值。

将1 5.5C =米，2 3.8C =米，5L C =米，2.5W C =米代人（1）式，可得() 6.875 1.625cos 12.5sin sin S θθθθ=+-，()21.625 6.875cos sin S θθθ-'=，所以当1.62513cos 6.87555θ==，即76.33θ︒≈时，()S θ达到最小，且(){}min 19.18S θ=平方米。

需要说明的是，当0θ=时车位与车道平行，此时每辆车都得采用平行泊车的方式进入车位，这是现实生活中马路边的停车位常见的情况，在一般的停车场中几乎很少看到。

平行泊车对驾驶员的技术要求较高，所以我们不考虑这样的情况。

上述对车位的局部分析表明，当停车位与通道夹角76.33θ︒≈时，可以使每单位车辆占据停车场的面积达到最小。

4.2一般车型停车位最佳角度的求解 表2 一般车型车辆停车角度8.202.995.59通过4.1的结果类推可得，当停车位与通道夹角64.15θ≈时，可以使每单位小型车占据停车场的面积达到最小，且最小值为22.99平方米；当停车位与通道夹角57.59θ≈时，可以使每单位大型车占据停车场的面积达到最小，且最小值为55.59平方米。

4.3 小轿车停车场地的分配由于停车场是一个2300*100m 的长方形区域，由以上分析可知，如果保持一排车位方向一致，且与单向通道的夹角为78.56，可使单位车辆占据的面积最小，此时宽度为R 的单向通道分别提供给其两边的停车位使用。

在通道两边都各安排一排小轿车车位时，考虑到路线的单行性质，通道两边的停车位角度θ应该相对，如图8所示。

图8 汽车场规划图对每一排停车位，其一边为通道，另一边则可以是另一排停车位或者是停车场的边缘。

所以停车排数CP 最多只能是通道数IP 的两倍，即：2C IP P ≤ （2）如果按照一排停车位，一条通道，一排停车位这样三排一组的形式加以组合，依次排列，确实也可以达到2C IP P =。

即（2）式中的等号是可以成立的。

此时，车位数可以达到停车位位置的最大值，排列情况同样可以见图7。

100米宽的停车场的一边可以当作足够长的边来看待，将300米为一排来设计小轿车的车位，即每排车位与矩形的短边平行。

在理想情况下，根据4.1讨论可知，最佳设计下的车位长度为：1sin cos 3.3sin 78.56 1.4cos78.56 3.512()2L W L C C θθ=+=+=米 停车场通道宽度为：)(603.356.78cos 24cos 21米=-=-= θC C R所以，理想情况下的一组（即两排车位中间加一条行通车道）的宽度X 约为：X=2L R 10.627()+=米则100米宽的停车场能够考虑设计9组这样的车位，现在在考虑从出入口到最里面靠墙这一段与横向垂直通道'R 的情况，即有一组里面有一排车位数是完整的，也就是说其余的8组以及剩下一组的两排车位数是一样缺少出入口通道'R所占的数目。

显然，横向通道'R =6.1米较合理，而理想条件下相邻车尾末端的距离是2.82.857sin L m θ=≈。

但是由于靠近两边墙时会有一部分空间无法利用，设其边长为a ，则0.656a m =所以，其余的8组以及靠墙剩下一组的两排车位的车位数应有(3000.656*2 6.1*2)1002.857--=个，而最后靠墙一排的车位数应有(3000.656*2)1052.857-=个，而有门一排的车位数是(3000.656*23)1032.857--=个，即总共的车位数100*8*21051031808sum =++=个。

4.4 一般车型停车场地的分配 表3 一般车型车位数)))通过4.3的结果类推可得，此时2*s tm 的停车场能够考虑设计小型车车位数为()1.03770.06452.9999s t -个；2*s tm 的停车场能够考虑设计大型车车位数为()0.76740.0337 2.9997s t -个。

5、模型检验5.1效度评价模型对停车场车位的效度评价利用基于模糊合成的层次分析法的数学模型：12(,,...,)Tn G R U U U =i i iU R A =其中G为效度评估的总体评估，R为准则层成对比较矩阵的特征向量，i U为准则层第i个因素的模糊综合评价向量。

5.1.1建立评价体系基于停车场的安全性主要是指：车辆在停车场行驶过程中，由停车场的特征赋予车辆的避险性能；以及车辆在停放过程中，避免被其他车辆挂擦以及避免被盗的性能。

安全性是驾驶人员对停车场服务水平的基本要求,也是停车场营运者得基本要求，他们都希望停放车辆的安全性高和出现紧急情况时有良好的出入停车场的环境，还希望停车行为对正在行使车辆的安全性的影响最小,不会形成恶性的循环,以致严重影响动态的停车取车，等等。

因此，安全性是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。

基于停车场的方便性主要是指：车辆进入和驶出停车场所需的时间和行驶的路程最小，乘车的人员和停车场管理人员到达停车场相应位置最快，等等。

方便性是对于人和车两者的流动而言的,停车者都希望从停车场到目的地的步行状况良好,步行的距离越短越好，都希望停车场内部通畅性良好,驾驶员出入停车场都比较容易,则该停车场被使用的可能性就越大。