谓词逻辑练习及答案第二章谓词逻辑练习一1、指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并回答它们是否是命题：（1）∀x(P(x)∨Q(x))∧R （R为命题常元）（2）∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)（3）∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))（4）P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))解（1）全称量词∀，辖域 P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元，∀x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。
（2）全称量词∀，辖域 P(x)∨Q(x)，其中 x为约束变元。
存在量词∃，辖域 S(x) ，其中 x为约束变元。
T(x)中x为自由变元。
∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)不是命题。
（3）全称量词∀，辖域 P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)，其中 x为约束变元，T(y)中y为自由变元。
存在量词∃，辖域B(x,y)∧Q(y)，其中y为约束变元。
∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))是命题。
（4）全称量词∀，辖域∃x(P(x)∧B(x,y))，其中 y为约束变元。
存在量词∃，辖域P(x)∧B(x,y)，其中 x为约束变元。
不在量词辖域中的P(x)中的x为自由变元。
P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))不是命题。
2、对个体域{0，1}判定下列公式的真值, E(x)表示“x是偶数”：（1）∀x(E(x)→┐x=1)（2）∀x(E(x)∧┐x=1)（3）∃x(E(x)∧x=1)（4）∃x(E(x)→x=1)再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。
解（1）∀x(E(x)→┐x=1) 真∀x(E(x)→┐x=1) 可表示成命题公式（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）其中E(0)→┐0=1真，E(1)→┐1=1也真，故（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）真。
（2）∀x(E(x)∧┐x=1) 假∀x(E(x)∧┐x=1) 可表示成命题公式（E(0) ∧┐0=1）∧（E(1) ∧┐1=1）其中E(0) ∧┐0=1真，但E(1) ∧┐1=1假，故（E(0) ∧┐0=1）∧（E(1) ∧┐1=1）假。
（3）∃x(E(x)∧x=1) 假∃x(E(x)∧x=1) 可表示成命题公式 (E(0)∧0=1) ∨ (E(1)∧1=1)其中E(0)∧0=1假，E(1)∧1=1也假，故 (E(0)∧0=1) ∨ (E(1)∧1=1)假。
（4）∃x(E(x)→x=1) 真∃x(E(x)→x=1) 可表示成命题公式 (E(0)→0=1) ∨ (E(1)→1=1)其中E(0)→0=1假，但E(1)→1=1真，故 (E(0)→0=1) ∨ (E(1)→1=1)真。
3、设整数集为个体域，判定下列公式的真值(*表示数乘运算)：（1）∀x ∃y(x*y=x)（2）∀x∃y (x*y=1)（3）∀x ∃y(x+y=1)（4）∃y ∀x (x*y=x)（5）∃y ∀x (x+y=0)（6）∀x ∃y(x+y=0)解（1）∀x ∃y(x*y=x) 真（2）∀x∃y (x*y=1) 假（3）∀x ∃y(x+y=1) 真（4）∃y ∀x (x*y=x) 真（5）∃y ∀x (x+y=0) 假（6）∀x ∃y(x+y=0) 真4、量词∃! 表示“有且仅有”，∃!xP(x)表示有且仅有一个个体满足谓词P(x)。
试用量词，∀, ∃,等号“=”及谓词P(x),表示∃! P(x)，即写出一个通常的谓词公式使之与∃!xP(x)具有相同的意义。
解∃!xP(x)可用以下具有相同的意义的谓词公式表示∃x（P(x) ∧∀y（P(y)→y=x））5、设个体域为整数集，试确定两个谓词P(x,y)，分别使得下列两个蕴涵式假：（1）∀x ∃!yP(x,y) →∃!y∀x P(x,y)（2）∃!y∀x P(x,y) →∀x ∃!yP(x,y)解（1）当P(x,y)表示x+y=0时∀x ∃!yP(x,y) →∃!y∀x P(x,y)为假。
（2）当P(x,y)表示x*y=0时∃!y∀x P(x,y)→∀x ∃!yP(x,y) 为假(*表示数乘运算)。
因为只有数0对一切整数x，有x*0=0，从而前件真；但对数0，可有众多y，使0*y=0，从而后件假。
6、指定整数集的一个尽可能大的子集（如果存在）为个体域，使得下列公式为真：（1）∀x(x>0)（2）∀x(x=5∨x=6)（3）∀x ∃y(x+y=3)（4）∃y ∀x (x+y<0)解（1）对正整数集个体域，∀x(x>0)为真（2）对{5，6}，∀x(x=5∨x=6) 为真（3）对整数集，∀x ∃y(x+y=3) 为真（4）使得∃y ∀x (x+y<0) 为真的整数集的尽可能大的子集不存在。
7、以实数集为个体域, 用谓词公式将下列语句形式化：（1）如果两实数的平方和为零，那么这两个实数均为零。
（2）f(x)为一实函数当且仅当对每一实数x都有且只有一个实数y满足y = f(x)（不得使用量词∃!。
“f(x)为实函数”可译为RF(f)）。
解（1）∀x∀y(x2+y2=0→x=0y=0) 。
（2）RF(f )↔∀x ∃y(y = f(x)∧┐∃z(z≠y∧z= f(x)))8、用谓词公式将下列语句形式化：（1）高斯是数学家，但不是文学家。
（2）没有一个奇数是偶数。
（3）一个数既是偶数又是质数，当且仅当该数为2。
（4）有的猫不捉耗子，会捉耗子的猫便是好猫。
（5）发亮的东西不都是金子。
（6）不是所有的男人都至少比一个女人高，但至少有一个男人比所有的女人高。
（7）一个人如果不相信所有其他人，那么他也就不可能得到其他人的信任。
（8）如果别的星球上有人，天文学家是不会感到惊讶的。
（9）党指向哪里，我们就奔向那里。
（10）谁要是游戏人生，他就一事无成；谁不能主宰自己，他就是一个奴隶。
（歌德）解（1）M(x) 表示“x是数学家”，A(x) 表示“x是天文学家”，g表示“高斯”,原句可表示为M(g) ∧┐A(g)（2）O(x) 表示“x是奇数”，E(x) 表示“x是偶数” ,原句可表示为┐∃x(O(x)∧E(x))（3）O(x) 表示“x是奇数”，E(x) 表示“x是偶数” ,原句可表示为∀x(O(x)∧E(x) ↔x=2)（4）C(x) 表示“x是猫”，M(x) 表示“x是老鼠”，G(x) 表示“x是好的”，K(x,y)表示“x会捉y” ,原句可表示为∃x(C (x)∧∀y(M (y)→┐K(x,y))∧∀x(C (x)∧∀y(M (y)→K(x,y))→G(x))（5）G(x) 表示“x是金子”，L(x) 表示“x是发亮的” ,原句可表示为┐∀x(L (x)→G(x))（6）M(x) 表示“x是男人”， F(x) 表示“x是女人”，H(x,y) 表示“x比y高”,原句可表示为┐∀x(M (x)→∃y(F(y)∧H(x,y)))∧∃x(M (x)∧∀y(F(y)→H(x,y))) （7）M(x) 表示“x是人”，B(x,y)表示“x相信y”, 原句可表示为∀x(M (x)∧┐∃y(M(y)∧x≠y∧B(x,y))→┐∃y(M(y)∧x≠y∧B(y,x)))（8）C(x) 表示“x是星球”，M(x) 表示“x是人”，A(x) 表示“x是天文学家”，e表示“地球”，H(x,y) 表示“x有y”，S(x) 表示“x惊讶”，原句可表示为∃x(C (x)∧x≠e∧∃y(M(y)∧H(x,y)))→∀x(A (x)→┐S(x))（9）Q(x,y) 表示“x指向y”，J(x,y) 表示“x奔向y”，party表示“党”，we表示“我们”,原句可表示为∀x(Q(party，x)→J(we, x))（10）M(x) 表示“x是人”，K(x) 表示“x游戏人生”，L(x) 表示“x一事无成”，H(x,y) 表示“x主宰y”，N(x) 表示“x是奴隶”，原句可表示为∀x(M(x)∧K(x)→L(x))∧∀x(┐H(x,x)→N(x))练习二1、利用量词意义或利用已经证明了的永真式及几个基本原理，证明永真式。
解： (1) A(x)⇒∃x A(x)设U,I,s分别是使A(x)真的个体域、解释和指派，s(x)=d∈U，那么A(d)真,因此对个体域U、解释I, ∃x A(x) 也真。
(2) ∀xA(x) ⇒∃x A(x)由∀xA(x) ⇒ A(x) 和∀xA(x) ⇒∃x A(x) 立即可得。
(3) ┐∀x┐A(x)⇔∃x A(x)设U,I是使┐∀x┐A(x)真的个体域和解释，那么并非U中的所有个体都使得解释I下的谓词A(x)假，，因此U中有个体使得解释I下的谓词A(x)真，故个体域U和解释I下∃x A(x)真。
上述证明是可逆的，所以┐∀x┐A(x) ⇔∃x A(x)得证。
(4) ∃xA(x)∧B⇔∃x(A(x)∧B)∃xA(x)∧B⇔┐(┐(∃xA(x)∧B))⇔┐(┐∃xA(x)∨┐B)⇔┐(∀x┐A(x)∨┐B)⇔┐∀x(┐A(x)∨┐B)⇔∃x┐(┐A(x)∨┐B))⇔∃x(A(x)∧B)(5) ∀x(A(x)∧B(x)) ⇔∀xA(x)∧∀x B(x)设U,I是使∀x(A(x)∧B(x))真的个体域和解释，那么对任意d∈U，A(d)∧B(d)真。
因此，对任意d∈U，A(d)真，对任意d∈U，B(d)真。
故U,I是使∀xA(x)∧∀x B(x))真。
∀x(A(x)∧B(x)) ⇒∀xA(x)∧∀x B(x)得证。
上述证明是可逆的，所以∀x(A(x)∧B(x)) ⇔∀xA(x)∧∀x B(x)得证。
(6) ∃x(A(x)∨B(x)) ⇔∃xA(x)∨∃x B(x)∃x(A(x)∨B(x)) ⇔┐(┐∃x(A(x)∨B(x)))⇔┐(∀x(┐A(x)∧┐B(x)))⇔┐(∀x┐A(x)∧∀x┐B(x))⇔┐(┐∃xA(x)∧┐∃xB(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x))(7) ∀x∀yA(x,y) ⇔∀y∀xA(x,y)个体域和解释U,I使∀x∀yA(x,y)真的意义，与个体域和解释U,I使∀y∀xA(x,y)真的意义相同，因此∀x∀yA(x,y) ⇔∀y∀xA(x,y) 。
(8) ∀x∀yA(x,y) ⇒∃y∀xA(x,y)由∀x∀yA(x,y) ⇔∀y∀xA(x,y) 和∀y∀xA(x,y) ⇒∃y∀xA(x,y) 立即可得。
(9) ∃y∀xA(x,y) ⇒∀x∃yA(x,y)设U,I是使∃y∀xA(x,y)真的个体域和解释，那么有c∈U，使得对任意d∈U，A(c,d) 真。
因此，对任以d∈U，总可取c∈U，使得A(c,d) 真。