M 瞄准维度，对应转化，求解三类几何概型的概率应用问题
范习昱
镇江市丹徒高级中学， 江苏 镇江 212121
摘要：几何概型是高中数学概率问题的基本模型之一，是各省市高考的常考知识点。
然而，笔者在教学中发现，学生由于缺乏利用已知条件建立适当几何模型的能力，经常出错。
本文针对三类几何概型，归类例析, 对应转化，并给出了具体的教学对策与反思。
关键词：几何概型 概率 维度
在概率教学中，笔者发现很多学生对有关几何概型的概率应用问题经常毫无思绪，屡次出错。
就其原因，并不是因为几何概型难以理解，而是学生缺乏利用已知条件建立适当几何模型的能力，即转化化归能力的缺失。
本文以案例的形式，详细解析了如何瞄准维度，对应转化，求解三类几何概型的概率应用问题。
1、转化为一维几何概型求长度或角度之比
案例1取一根长度为3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是多少?
分析 从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,基本事件有无限个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生概率只与剪断位置所处的绳子段的长度有关,这就可以对应转化为一维的几何概型,求长度之比.
解 记事件A 为“剪得两段绳长都不小于1 m ”,把绳子三等份,于是当剪断位置处于中间一段时,事件A 发生.由于中间一段的长度为1m 所以事件A 发生的
概率为()3
1=A P . 案例2平面上画了一些彼此相距a 2的平行线,把一枚半径a r <的硬币任意投掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.
分析 不失一般性,我们考察某两条平行线之间的情形:先在这两平行线之间作一条垂线.因为硬币的位置由其中心决定,硬币的中心在这个垂线上运动,每个位置对应一个基本事件,容易知道,基本事件有无限个,且等可能的发生,因此事件的发生概率只与硬币的中心所处的线段长度有关,这可以对应转化为一维的几何概型,求线段长度之比.
解 记为事件A 为“硬币不与任一条平行线相碰”,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ,垂足为M ,如图所示,这样线段OM 长度的取值范围就是[]a ,0,只有当a OM r <<时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A 的概率就是
()()的长度的长度],0[,a a r A P =a r a -=
案例3在直角坐标系内,射线OT 落在 60角的终边上,任作一条射线OA ,求射线OA 落在XOT ∠内的概率.
分析 射线OA 可以绕原点O 从x 轴正向任意地旋转一周,等可能地到达每个位置,而每个位置对应于一个基本事件,且有无限个基本事件.因此事件的发生概率只与射线OA 旋转的角度有关,这可以对应转化为一维的几何概型,求角度之比.
解 记事件B 为“射线OA 落在XOT ∠内”,因为 60=∠XOT 所以
()6
136060==∠= 一个周角度数度数XOT B P 变式 若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ,则L 与线段BC 相交的概率是多少?（射线和直线对同类问题的不同影响）
2、转化为二维几何概型求面积之比
案例4设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm 的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线有公共点的概率.
分析 不失一般性,我们考察某一个正方形内（含边界）的情形:因为硬币的位置由其中心决定,硬币的中心可以在这个正方形内（含边界）运动,每个位置对应一个基本事件,容易知道,基本事件有无限个,且等可能的发生，因此事件的发生概率只与硬币的中心所处的区域面积有关,这可以对应转化为二维的几何概型,求面积之比.
解 取其中的一格,把正方形的各边向内缩1个单位,得到一个边长为4的小正方形.若硬币的中心落在小正方形内，则硬币与格线没有公共点,否则与格线有公共点,故所求概率为：
案例5 甲、乙两人约定8时到9时之间在某处会面,并约定先到者应等候另
一人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率． 分析 涉及到两人到达的时间,考虑引入两个变量表到达约会地点的时间,它们等可能地在8时到9时之间取值,每一组取值都表示一个基本事件,因此事件发生的概率只与两个变量决定的区域的测度有关,可以对应转化为二维的几何概型。
解 用x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的条件是15≤-y x ,在平面上建立直角坐标系如图所示，则()y x ,的所有可能结果956
4122=-=P
是边长为60的正方形,而可能会面的事件由图中的阴影部分所表示，这是一个几何概型问题,故所求概率为:
()16760
45-60222===正方形面积阴影部分面积A P
案例6 将长为10的木棒随机折成三段,求这三段能构成三角形的概率. 分析 问题中虽涉及到三个变量, 但易知,只要设出其中的两个变量,就可以得到第三个变量;这两个变量可以在()10,0上有条件（两变量的和小于10）等可能地取值,每一组取值都表示一个基本事件,因此事件发生的概率只与两个变量决定的区域面积有关,又可以对应转化为二维的几何概型.从已知条件入手, 可以寻找到两变量之间的关系,利用“线性规划”作出图形, 找到两个变量决定的区域，从而解决问题.
解 可设长度为10的线段被分成三段的长度分别为()y x y x +-10,,, 设能构成三角形的事件为A ,则基本事件对应的测度是不等式组
⎪⎩
⎪⎨⎧<+<<<<<10010
0100y x y x 所决定的区域的面积S .
由一个三角形两边之和大于第三边,有()y x y x +->+10，即
5>+y x ;又由三角形两边之差小于第三边,有()y x y x +-<-10,即
5<x ,同理5<y .故事件A 对应的测度是不等式组
⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<1055
050y x y x 所决定的区域的面积A S .
故所求概率为()41102
15212
2=⨯⨯==S S A P A 3、转化为三维几何概型求体积之比 案例7 在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -内任取一点M ,则点M
到这
点A 的距离小于等于a 的概率是多少?
分析 点M 在正方体内每个位置都能等可能地运动到，每个位置都表示一个基本事件,且基本事件有无限个,因此事件的发生概率只与点M 所决定的空间区域的体积有关,可以对应转化为三维的几何概型,Q 求体积之比.
解 如图,设点M 到点A 的距离小于等于a 为事件E ,E 事件对应的测度是
以点A 为球心、以a 为半径的球位于正方体内的部分的体积,即8
1个球的体积,故所求概率为:
案例8 甲、乙、丙三人定于6时到7时之间在某地约会,已知他们三人都不会违背约定,但是他们到达会面地点的具体时间不确定,求甲第一个到而丙第三个到的概率.
分析 本题实际是案例5的推广.涉及到三人到达的时间,考虑引入三个变量到达约会地点的时间,它们等可能地在6时到7时之间取值,每一组取值都表示一个基本事件,因此事件的发生概率只与三个变量决定的空间区域的测度即体积有关,可以对应转化为三维的几何概型.建立空间直角坐标系,利用体积比来求概率.
解 设甲、乙、丙三个人到达约会地点的时间分别是6时x 分,6时y 分,6时z 分,试验的全部结果所要满足的条件是不等式组
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤600600600z y x
对应的区域,即正方体1111D C B A ABCD -.而事件“甲第一个到丙最后一个到”的充要条件是600≤<<≤z y x ，对应的区域为三棱锥C BB A 11,故所求概率为:
6160
6060213132=⨯⨯⨯==正方体三棱锥
V V P
ππ61)34(8133=⨯=a
a P
反思与总结：
1、几何概型的基本特征
试验的基本事件是无限个，每一个基本事件发生的可能性是等同的，且在某个区域内均匀随机分布，所以几何概型的概率与区域的形状、位置无关，只与该区域的测度有关。
这一测度在一维中表现为长度或角度，在二维中表现为面积，在三维中则表现为体积。
2、几何概型的概率公式
()度
件）所构成的区域的测试验结果（总的基本事角度、面积、体积）的区域的测度（长度、构成事件A A P = 3、求几何概型概率的一般步骤
（1）首先,定维度，即判断事件是一维还是二维、三维的几何概型问题;
（2）接着,先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域(长度、角度、面积、体积) ,若涉及到二维、三维的几何概型问题,先设出二维或三维变量, 再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件,作出两个区域, 最后计算两个区域的面积或体积;
（3）最后代入几何概型的概率公式求解.
4、变式教学，举一反三
（1）在区间()1,0中随机地取出一个数，求这个数与2
1的和大于1的概率。
变式1 在区间()1,0中随机地取出两个数，求这两个数之和小于6
5的概率。
变式2 在区间()1,0中随机地取出三个数，则三个数平方之和小于1的概率。
（2）将案例5转化为三维几何概型求解。
结束语：
几何概型是古典概型在无限空间里的推广，只要能立足古典概型的思路，将实际问题中的几何概型问题对应转化为三个维度的几何概型，熟悉以上案例的模型，很多几何概率应用问题便可迎刃而解。