《整式乘除与因式分解》知识点归纳总结一、幕的运算：1、同底数幕的乘法法则：a m・a n=a mn( m, n都是正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

女口：(a b)2 *(a b)3二(a b)52、幕的乘方法则：(a m)n“mn(m,n都是正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘。

口：(一35)2=310幕的乘方法则可以逆用：即a mn =(a m)n =(a n)m女如: 4^(42)^(43)23、积的乘方法则：(ab)n=a n b n( n是正整数)。

积的乘方，等于各因数乘方的积。

女口：( -2x3y2z)5=(-2)5・(x3)5・(y2)5・z5 =-32x15y10z54、同底数幕的除法法则：a m-'a n=a m』(a = 0, m,n都是正整数，且m「n) 同底数幕相除，底数不变，指数相减。

女口：(ab)4亠(ab)二(ab)3二a3b35、零指数；a0 =1 ,即任何不等于零的数的零次方等于1。

r / n为偶数r迪T n为偶数I —屮11次奇数1一@—b乜为奇数二、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，贝S连同它的指数作为积的一个因式。

口：- 2x2y3z・3xy二_____________ 7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a b c^ ma mb mc ( m, a, b, c 都是单项式)。

女口 : 2x(2x ~'3y) -'3y(x ' y) = 。

8多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

9、平方差公式：(a • b)(a-b)二a?-b2注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

女如: (x y — z)(x_y z) = _________________ 10、完全平方公式:(a 二b)2二a2二2ab b2完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。

公式的变形使用：(1)a2 b2 =(a b)2 _2ab =(a b)2 _2ab ；(a - b)2 = (a b)2 - 4ab2 2 2 2 2 2(_a_b) =[_(a b)] =(a b) ；(—a b) =[_(a_b)] =(a_b)(2)三项式的完全平方公式：(a - b n c)2二a2n b2 c2 2ab - 2ac - 2bc11、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，贝燧同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幕相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

女口：-7a2b4m- 49a2b12、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：(am bm cm) ■■ m = am£m = bmm m+cm^m = a + b + c三、因式分解的常用方法.1、提公因式法(1)会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母一一各项含有的相同字母；③指数 -- 相同字母的最低次数；(2)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(3)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式:__ 2 2①平方差公式： a —b = (a + b )( a —b )a 2+2ab + b 2=(a + b )2 2—2ab + b =( a — b )3、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式 --- x 2 (p q)x p^ (x p)(x q)进行分解。

特点：(1) 二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积； ⑶一次项系数是常数项的两因数的和 思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知O V a < 5,且a 为整数，若2x 2 3x a 能用十字相乘法分解因式，求符 合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式a*+bx+c ,都要求二二b 2 - 4ac >0而且是 一个完全平方数。

于是=9 - 8a 为完全平方数，a =1例2、分解因式：x 2 5x 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。

由于6=2X 3=(-2)X (-3)=1 X 6=(-1)X (-6)，从中可以发现只有2X 3的分解适合，即2+3=5。

1 2解：x 2 5x 6=x 2(2 3)x 2 313=(x 2)(x 3)1 X 2+1 X 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代 数和要等于一次项的系数。

例3、分解因式：x 2 -7x 6解：原式=x 2 [(-1) • (-6)]x • (-1)(-6)1 -6(-1) + (-6) = -7 ⑵ a 2 -15a +36⑶ x 2 4x-5②完全平方公式: a=(x _1)(x _6)练习1、分解因式(1)x 2 14x 24(-6) + (-5) = -11解：3x 2 -11x 10 = (x -2)(3x -5)练习 3、分解因式：(1)5x 2 7^6( 2)3x 2 —7x • 2(三)二次项系数为1的齐次多项式 例5、分解因式：a 2 -8ab -128b 2分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法 进行分解。

1 =8b 1 - 16b 8b+( -16b)= -8b解: a 2 -8ab -128b 2=a 2 [8b (-16b)]a 8b (-16b)=(a 8b)(a -16b)练习 4、分解因式(1)x 2 -3xy 2y 2 (2) m 2 - 6mn 8n 2 (3)a 2-ab-6b 2(四)二次项系数不为1的齐次多项式(二)二次项系数不为 条件：(1) a = a 1a 2(2) C =C i C 2.................... 最新资料推荐 .................1的二次三项式一― -ax 2 bx ca i a 2(3) b = a 〔C 2 +玄2&分解结果： ax 2 bx C = (a 1x G )(a 2x C 2 ) 二 a 〔C2 + a ?C i 例4、分解因式:分析：3x 2 -11x 10-2-5例 9、2x 2 -7xy 6y 21x -2y2 -3y (-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x-2y)(2x-3y)例 10、x 2y 2 -3xy - 2 把xy 看作一个整体-1 -2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy-1)(xy-2)C 2练习9、分解因式：(1) 15x2 7xy-4y2(2) a2x2 -6ax 8(6) m 1 2 - 4mn 4n 2 - 3m 6n 2⑻ 5(a b)2 23(a 2 -b 2) -10(a -b)33、在数学学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。

女口：对于任意自然数n ，(n 7)2 -(n-5)2都能被动24整除。

4.如图，矩形花园ABCD 中，AB=a , AD=b ，花园中建有一条矩形道路LMQP 及一条A . be - ab ac b 2B . a 2 ab be - acC . ab -be -ac c 21 若2a m2n b 7 a 5b n ^m2的运算结果是3a 5b 7，则m n 的值是()A . -2B . 2C . -3D . 32 若a 为整数，则a 2 a 一定能被( )整除 A . 2 B .3 C .4 D . 53 若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，贝S m 的值等于 ............. ()综合练习 5、( 1) 8X 6—7X 3—1⑵ 12x 2 一 11xy 一 15y 2(3)(x y)2「3(x y)「10(4)(a b)2 -4a -4b 3(5) x 2y 2-5x 2y-6x 2(7) X 2 4xy 4y 2 —2x —4y _3A.3B.-5C.7.D.7 或-1平行四边形道路RSTK,若LM=RS=c ,则花园中可绿化部分的面积为( )D .『-be a? -ab5. ________________________________________________ 分解因式：a? _[+b? _2ab = ______________________________________________________________ .6. 下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如a b n( n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出a b n展开式中所缺的系数。

a b 二 a b2 2 2(a + b ) =a +2ab +b(a + b j = a3 +3a?b +3ab? +b3贝卩(a +b f =a4+ ____ a3b +____ a2b2+______ ab3 +b4 7. 3x(7-x)=18-x(3x-15；8. (x+3)(x-7)+8> (x+5)(x-1).9. x m =3,x n =2，求x3m 2n、x’z 的值11 1 \X/3 3 110.探索题：(x -1)(x 1)x2 -1 (x -1)(x2 X 1) -13 24 4 3 2 5(x -1)(x x x 1) = x -1 (X-1)(X x x X 1)=x -1①试求26252423222 1的值②判断2200822007220B- 222 1的值的个位数是几？。