（3）
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（4）作最小二乘估计，求参数 a,u
ˆ ua (BT B)1 BTYN
（4）
（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为
Xˆ (1) (t 1) ( X (0) (1) u )eat u
a
a
（5）
这就是要建立的灰色预测模型。
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就更有实际意义了。
轻载荷的蠕变实验所需要的时间是相当长的，少
则几天，多则几年。在重载荷的基础上减轻 1 公斤，试
验时间将相应增加几百甚至几千小时。根据已有重载
荷试验数据，预报减轻重载后的断裂时间就显得重要
了。2021/3/17
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下面，我们根据（6）式来预测载荷 32 kg/mm2 的 断裂时间。它对应的序数为 6，也就是要求出 X (1) (6) 和 X (0) (6) 。 由 （ 6 ） 式 得 X (1) (6) 51.4 ， 从 表 中 查 得 X (1) (5) 27.58 再由 X (0) (6) = X (1) (6) X (1) (5) 23.82，这说 明，在载荷 32 kg/mm2 下，此种材料大约经过 2382 小 时断裂。
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为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下， 预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很 重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。 而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使 通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而 言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果 将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某 一温度下的任何载荷应力的断裂时间。
由公式（2）得到的。按（3）构造矩阵
3.78 1
B
7.30 12.8 21.9
1
11 ，YN [2.80,4.25,6.85,11.3]T ，
代入（4），可得
ˆ
0.5 0.97
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按（5）可得到模型（1）的解为
Xˆ (1) (t 1) 4.4e0.5t 2.2
理论的特点之一。
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（3）对 GM（1,1），其数据矩阵为
向量
0.5 [ X (1) (1) X (1) (2)] 1
B
0.5 [ X (1) (2) X (1) (3)]
0.5 [ X (1) (N 1) X (1) (N
)]
1 1
YN [ X (0) (2), X (0) (3),, X (0) (N )]T
取 t 为应力序数 k 时，由
Xˆ (1) (k 1) 4.4e0.5k 2.2
即可得到生成累加数列 Xˆ (1) (k 1) (k 1,2,) 。
（6）
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2、检验 当 k 1,2,3,4 时，由（6）式得出
Xˆ (1) (k 1) [5.05,9.76,17.52,30.3]
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（2）将同一数据列的前 k 项元素累加后生成新数据列
的第 k 项元素，这就是数据处理。表示为：
k
X (1) (k) X (0) (n) n1
（2）
不直接采用原始数据 X (0) 建模，而是将原始的、
无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，然
后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统
二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温
状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低， 并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但 在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至 会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发 动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏， 可能造成很大的事故。
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§2 灰色预测模型 GM(1,1)及其应用
一、灰色预测模型 GM（1,1）
建模步骤如下：
（1）GM（1,1）代表一个白化形式的微分方程：
dX (1) aX (1) u dt
（1）
式中，a,u 是需要通过建模来求得的参数；X (1) 是
原始数据 X (0) 的累加生成（AGO）值。
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断裂时间
2.38 2.80 4.25 6.85 11.30
（100 X (0) (K ) 小时）
一次累加数列 X (1) (K ) 2.38 5.18 9.43 16.28 27.58
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1、建立 GM（1,1）模型
表中一次累加数列 X (1) (k) 是根据断裂时间数列 X (0) (k
而由表中得出
X (1) (k 1) [5.18,9.43,16.28,27.58]
计算出平均相对误差为 0.04，这一精度是相当理 想的。
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3、预测
由上面得到的一次累加生成数列与实际一次累加
生成数列很接近，因而可以用来估计原始一次累加生
成数列中的各个数据。特别是估计序数 5 以后的数据，
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下面是对 Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况 利用灰色系统理论进行研究。在 500℃的高温下，已测得 此铸件在载荷分别为 37，36，35，34，33（kg/mm2）情 况下的蠕变断裂时间见下表。
数列
序 数K
1
2
3
4
5
载荷应力（kg/mm2） 37 36 35 34 33