解析几何经典例题圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。
这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。
一、椭圆定义的深层运用例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。
图1解析：易知故在中，则点M的轨迹方程为。
二、双曲线定义的深层运用例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。
图2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则，即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3解析：易知抛物线的准线l：，作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”则即M到直线的最短距离为2故M到直线y＝－1的最短距离为。
评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。
一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。
四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）图4②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点长轴长为2的椭圆。
应选B。
②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。
五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。
①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
图5解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，即故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，其方程为；②经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，其方程为。
［练习］1. 已知椭圆E 的离心率为e ，左、右焦点为F 1、F 2，抛物线C 以为焦点，为其顶点，若P 为两曲线的公共点，且，则e ＝__________。
答案：2. 已知⊙O ：，一动抛物线过A （－1，0）、B （1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F 的轨迹方程。
答案：圆锥曲线中的方法与运算1.(与名师对话第51练) 已知抛物线221y x =-,点(2,0)A , 问是否存在过点A 的直线l ,使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称,如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在,请说明理由.分析: 这是一个求变量(斜率k )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k )相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围.解: 设直线l 的方程为(2)y k x =-,若0k =,则结论显然成立,即0k =可取.若0k ≠,则直线PQ 的方程为1y x m k =-+, 由方程组21,21,y x m ky x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩可得,22210y y kb +-+=.∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点, ∴ 244(21)0,k kb =--+>即 2120k kb -+>. 设线段PQ 的中点为G(00,x y ), 则1202y y y k +==-, ∴ 2120()()2y y x k km k k km k km +=-+=--+=+, ∵ 点G(00,x y )在直线l 上, ∴ k -=2(2)k k km +-, 由 0k ≠可得,21k m k-=,∴ 212k k -+21k k-0>, 21k < (0k ≠) , ∴ 10k -<<或01k <<.综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为1-1k <<.2.(与名师对话第51练)已知M 直线l 过点(1,0),且与抛物线22x y =交于,A B 两点,O 为原点,点 P 在y 轴的右侧且满足:1122OP OA OB =+.（1）求点P 的轨迹C 的方程;（2） 若曲线C 的切线的斜率为λ,满足:MB MA λ=,点A 到y 轴的 距离为a ,求a 的取值范围.分析：由1122OP OA OB =+可知，点P 的轨迹C 就是弦AB 的中点的轨迹.解(1) 显然直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为:1y k x =-（）,由方程组212y k x x y =-⎧⎨=⎩（），，消去y 整理得2220x kx k -+=,设1122(,),(,)A x y B x y , 122x x k +=,∴ 122p x x x k +==, 21p y k k k k =-=-（）, 消去k 得点P 的轨迹C 的轨迹方程为: 2y x x =-.∵ 2480k k ->, ∴ 0k <或2k >,∵ 点P 在y 轴的右侧, ∴ 2x k =>,故点P 的轨迹C 为抛物线2y x x =-上的一段弧.分析: 点A 到y 轴的距离为a 就是点A 的横坐标的绝对值.因为曲线C 的切线的斜率为λ,所以λ='21y x =-,由2x >知,3λ>,由此可知,我们必须建立点A 的横坐标的绝对值关于λ的关系.解(2): 设1122(,),(,)A x y B x y ,则由MB MA λ=可知,22(,)(1,0)x y -=λ[11(,)(1,0)x y -], ∴211(1)x x λ-=-,21y y λ= ,∴ 211x x λλ=-+, 2221x x λ=, ∴ 2211[(1)]x x λλλ--= ∵ 1λ≠,∴ 211210x x λλλ-+-=,方法(一) 11x ==3λ>),∴ 11(3)a x λ==>,∴ a ∈(1,1)3-(1,13⋃+. 方法(二) 211(1)x λ-=, (3λ>),∴ 1103λ<<, 0<21(1)x -13<, ∴ 11x ≠且11133x -<<+∴ a ∈(1,1)3-(1,13⋃+.3.(与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为22x py = (0)p >,过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,且212x x p =-.（1）求m 的值;（2）若点M 分AB 所成的比为λ,求λ关于θ的函数关系式. 分析: 要求m 的值,必须给出关于m 的方程. 解(1): 设过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线的方程为y kx m =+.由方程组22y kx m x py =+⎧⎨=⎩，，消去y 整理得2220x pkx pm --=, 则122x x pm =-,∵ 212x x p =-, ∴ 2pm -2p =-, 2p m =. 分析: 由2p m =可知过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线为2p y kx =+.先建立关于k 的函数关系式,再转换为关于θ的函数关系式.解(2): ∵ 关于θ的函数关系式, ∴AM MBλ=,1122(0,)(,)[(,)(0,)]22p px y x y λ-=-,1212,(),22x x p p y y λλ=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩由(1)可知212122,x x pk x x p +==-,由方程组1212212,2,,x x x x pk x x p λ⎧=-⎪+=⎨⎪=-⎩可消去12,,x x p 得,222(21)10k λλ-++=.∵ 0<θ<2π, ∴ 1λ<, 故222121k k k λ=+-+=2222(1sin )2tan 12tan tan 1cos θθθθθ-+-+==1sin 1sin θθ-+. 4.(与名师对话第51练) 已知方向向量为(1,3)v =的直线l 过点(0,-2)和椭圆C:22221x y a b+= (0)a b >>的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上. （1）求椭圆C 的方程;（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于,M N ,满足:OM ON ⋅=463cot MON ∠ 0(O ≠为原点) 若存在,求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由.6．(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为221189x y +=，F 是它的左焦点，M 是椭圆C 上的一个动点，O 为坐标原点.(1) 求OFM 的重心G 的轨迹方程;(2) 若OFM 的重心G 对原点和点P(-2,0)的张角OGP ∠最大, 求点G 的坐标.解(1): 设点)y ,x (G (y ≠0) , M(x 1,y 1)由题设可知,F(-) 则11333x yx y -==，, ∴ 1333x x y =+=1，y , ∴ OFM 的重心G 的轨迹方程为22112x y ++=（）(0y ≠). (2) 由(1)可知, 原点和点P(-2,0)是椭圆22112x y ++=（）的两个焦点.下面证明当点M 与椭圆22112x y ++=（）的短轴的端点重合时张角OGP ∠最大.方法(一) 用椭圆的定义设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为1r 、2r ，则由椭圆的定义可知1r +2r =22.在MOP∆中,21222212r r OP r r OGP COS -+=∠=21222124r r r r -+=2121221224)(r r r r r r --+=21212224)22(r r r r --=2142r r +-≥4)(42221r r ++- (当且仅当21r r =时,等于号成立) =0∴ 当21r r =,即点M 与短轴的端点重合时张角OGP ∠最大, 最大角为090,这时点M 的坐标为(-1,1)、（-1，-1）.方法(二) 用椭圆的焦半径公式将椭圆22112x y ++=（）平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为2212x y +=,原张角OGP ∠就是在点P 处的两条焦半径的夹角.设点P 的坐标为(00x y ，),则22001200222422cos 2222222x x F PF x x ++--∠=+-（2）（）（）（）=220002011[02]12122222x x x x =⋅∈--2，（） 当00x =时,12cos 0F PF ∠=, 当2002]x ∈（，时, 12cos 01]F PF ∠∈（，, 故12cos [01]F PF ∠∈，, 12F PF ∠的最大值为090,这时相应点P 的坐标为(0,±1),在椭圆的原位置相应点P 的坐标为(-1,±1).7.(与名师对话第52练21) 已知动点P 与双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，的距 离之和为定值,且12cos F PF ∠的最小值为19-.(1) 求动点P 的轨迹方程;(2) 若已知点D (0,3),点M N ，在动点P 的轨迹上,且DM DN λ=,求实数λ的取值范围;(3) 若已知点D (1,1), 点M N ，在动点P 的轨迹上,且MD DN =,求直线MN 的方程.分析: 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点的椭圆,因此动点P 的轨迹方程可以用待定系数法求得.解(1): 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点的椭圆,设其方程为22221x y a b+= (0a b >>).可以证明(仿例6)当动点P 在椭圆的短轴的端点时12cos F PF ∠的值最小,这时2122222010cos 12a F PF a a -∠==-, ∴ 210119a -=-, 29a =. ∴ 24b =,∴ 动点P 的轨迹方程为22194x y +=.分析: 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线, 直线MN 的变化可以用其斜率表示(直线的方程为3,y kx =+这时要k 作讨论),也可以用t 表44z 示(直线的方程为(3)x t y =-,这时不需要对t 作讨论).下面用直线方程3y kx =+求解.解法(一): 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线. 若直线MN 的斜率不存在,则155λλ==或.若直线MN 的斜率存在,设直线MN 的方程为3,y kx =+则由方程组223,4936,y kx x y =+⎧⎨+=⎩可得, 22(94)54450k x kx +++=,设1122(,),(,)M x y N x y ,则1212225445,9494k x x x x k k -+==++. 又由DM DN λ=可得, 12x x λ=,∴ 12225454,(1)94(1)94k k x x k k λλλ--==++++, ∴ 2222(54)(1)(94)k k λλ=++24594k +∴2(1)λλ=+22259454(9)324324k k k +⋅=⋅+. ∵ 22(54)445(94)0k k ∆=-⨯+≥, ∴ 259k ≥.∴25136(1)4λλ<≤+, ∴ 115,555λλ<<≠且, 综上所述, 155λ≤≤.分析：用点,M N 的坐标表示直线MN 的变化. 解法(二): 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线.设1122(,),(,)M x y N x y ,则2211194x y +=,2222194x y +=. ∵ DM DN λ=, ∴ 12x x λ= , 1233y y λλ=-+,∴22222(33)194x y λλλ-++=, 222222294x y λλλ+=. ∴ 22(33)4y λλ-+-222214y λλ=-, 223(233)(1)14y λλλλ-+-=-,∴ 1λ=或23(233)14y λλλ-+=+, 213522,06y λλλ--≤=≤>解得155λ≤≤. 8.抛物线C 的方程为2(0)y ax a =<,过抛物线C 上一点00P x y （，）(00x ≠)作斜率为12k k ，的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点(P A B 、、三点各不相同),且满足210k k λλλ+=≠≠（0且-1）.(1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;(2) 设直线AB 上一点M 满足:BM MA λ=,证明线段PM 的中点在y轴上;(3)当1λ=时,若点P 的坐标为(1,-1),求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.分析: 将a 看作常量.解(1): 抛物线C 的方程为21(0)x y a a=<, 故抛物线C 的焦点坐标为(104a，),准线方程为14y a=-. 分析: 从形式上看, 线段PM 的中点坐标与12k k λ、、相关,而实际上肯定横坐标可以消元为0.解(2): 由题设可知,直线PA 的方程为:100y k x x y =-+（）,由方程组1002y k x x y y ax =-+⎧⎨=⎩（），，可得,211000ax k x k x y -+-=,即2211000ax k x k x ax -+-=, ∴ 110k x x a =-, 同理 220kx x a =-, ∵BM MAλ=, ∴21M M x x x x λ-=-（）,121M x x x λλ+=+=12001k kx x a a λλ-+-+（）（）∵ 210k k λλλ+=≠≠（0且-1）, ∴ M x =-0x ,∴ 线段PM 的中点横坐标为0, 即线段PM 的中点在y 轴上. 分析:解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C 的方程为2y x =-,111x k =-+（）,又1λ=,故211x k =-,∴ 21111A k k -++（（），-（））, 21111B k k --（，-（））∴ 1124AB k k =（，）,211122AP k k k =++（，）, ∵ PAB ∠为钝角, P A B 、、三点各不相同, ∴ 0,AP AB ⋅<即有1124k k ⋅（，）211122k k k ++（，）<,112(2)k k ++21114(2)0k k k +<,111(2)(21)0k k k ++<∴ 111202k k <--<<或,∴ 211(1)y k =+, 111202k k <--<<或, ∴ 111114y y <--<<-或.9.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在X 轴上,一条经过点3-（，且方向向量为25a =-（，的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,交X 轴于M 点,又2AM MB =.(1) 求直线l 的方程;(2) 求椭圆C的长轴长的取值范围.解(1): 直线l的方程为3y x=-）分析: “直线l与椭圆C有两个不同的交点”可以转化为一个关于a b，的不等式,向量等式2AM MB=可以转化为一个关于a b，的等式.解(2):由方程组22222232,y xb x a y a b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩（）可得222222245b a y y b a b+-+-=（）.设设1122(,),(,)A x yB x y,则22212122222455b a by y y yb a b a-+==++，.由2AM MB=可知,122y y= ,∴1225yb a=+,2225yb a=+, ∴222232545bb a=+（）2222245b a bb a-+,∴222251409a aba-=>-（）∵222222244()4()()055b b a b a b=--+->, ∴22545a b+>,∴ 222225(1)0,9545,a a a a b ⎧->⎪-⎨⎪+>⎩ ∴ 22222225(1)0,95(1)55,9a a a a a a a ⎧->⎪⎪-⎨-⎪+>⎪-⎩219a <<. ∵ 22,b a < ∴ 2222251449a a b a a -=<-（）, ∴ 224199a a <>或, ∴ 24119a <<, 4113a <<,∴ 241223a <<,即椭圆C 的长轴长的取值范围为241(2,)3. 10.自点(0,1)A -向抛物线C:2y x =作切线AB,切点为B ,且点B 在第一象限,再过线段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E,F,直线AE,AF 分别交抛物线C 于P,Q 两点.(1) 求切线AB 的方程及切点B 的坐标; (2) 证明()PQ AB R λλ=∈.解(1): 设切点B 的坐标为00(,)x y ,过点B 的切线的方程为20002()y x x x x =-+,∵ 切线过点(0,1)A -, ∴ 200012()x x x -=-+, 01x =, ∵ 点B 在抛物线上, ∴ 01y =,∴ 切线AB 的方程为21y x =-, 切点B 的坐标为(1,1).分析: 即证明AB ∥PQ .(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB 的中点M 的坐标为1(,0)2,设直线l 的方程为1()2y k x =-, 222211223344(,),(,),(,),(,)E x x F x x P x x Q x x .由方程组21(),2,y k x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2102x mx m -+=, 故12121,2x x m x x m +==.2243434343(,)()(1,)PQ x x x x x x x x =--=-+.∵ A,E,P 三点共线, ∴ 2331x x +=2111x x +,131x x = , 同理241x x =,∴ 21211111()(1,)PQ x x x x =-+=12121212122()(1,)(1,2)x x x x x x x x x x m-+-= 由(1,2)AB =可知, 122()()x x PQ AB R mλλ-==∈其中.11. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A, P 为双曲线上异于点A 的一个动点, 从A 引双曲线的渐近线的两条平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有2OP OQ OR =⋅(O 为坐标原点);(2) 若以OP 为边长的正方形的面积等于双曲线的实,虚轴围成的矩形的面积,求双曲线的离心率的取值范围.(1) 证明: 设直线OP 的方程为y kx =, 直线AR 的方程为()b y x a a =-, AQ 的方程为()b y x a a=--. 由方程组(),,b y x a a y kx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 得 (,)ab kab R ak b ak b ----, ∴ OR =(,)ab kab ak b ak b ----, 同理OQ =(,)ab kab ak b ak b++, ∴ OQ OR ⋅=(,)ab kab ak b ak b ----⋅(,)ab kab ak b ak b ----=222222(1)a b k a k b+-. 设(,)P m n , 由方程组22221,,x y a b y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2m =22222a b b a k -,2n =222222k a b b a k - ∴ 2OP =222222(1)a b k b a k +-. ∵ 直线OP 过原点, ∴ 2220b a k ->, ∴ 2OP OQ OR =⋅. (2) 解: 由题设知, 222222(1)a b k b a k +-=4ab , 22240,4b ab k ab a -=>+又222b k a <, ∴ 2244b ab ab a -+22b a <, (恒成立))解得4a b <, ∴e >圆锥曲线的一个统一性质———由一道高考题引发出的思考题（2001年全国·理）：设抛物线y 2=2px （p>0）的一个焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴。