题目：五种插值法的对比研究xxx大学本科生毕业论文开题报告表论文（设计）类型：A—理论研究；B—应用研究；C—软件设计等；五种插值法的对比研究 (3)一插值法的历史背景 (5)二五种插值法的基本思想 (5)（一）拉格朗日插值 (5)（二）牛顿插值 (6)（三）埃尔米特插值 (7)（四）分段线性插值 (7)（五）样条插值 (8)三五种插值法的对比研究 (9)四插值法在matlab中的应用 (15)五参考文献 (17)五种插值法的对比研究摘要：插值法是数值分析中最基本的方法之一。
在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时，要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值，按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。
在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。
本文详细介绍了拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、埃尔米特插值、样条插值法，并从五种插值法的基本思想和具体实例入手，探讨了五种插值法的优缺点和适用范围。
.通过对五种插值法的对比研究及实际应用的总结，从而使我们在以后的应用中能够更好、更快的解决问题。
关键词：插值法对比实际应用Abstract: interpolation numerical analysis of one of the most basic method. Function is a wide variety of practical problems encountered, and some even not give expression provides only a number of discrete data, e.g., in the the checker number table, to check the data is not found in the table , first find out the number next to it, from the side to find the correction value, a certain relationship between the adjacent number to be amended, and to find to find the number, this correction relationship is actually an interpolation . Selection of different types of interpolation functions in practical applications, the approximation of the effect is different. This paper describes the Lagrange interpolation, Newton interpolation, piecewise interpolation, Hermite interpolation, spline interpolation, and start from the basic idea of the five interpolation and specific examples to explore the advantages of the five interpolation shortcomings and the scope of application. The comparative study and practical application of the summary by the the five interpolation method of application so that we can better and faster to solve the problem.引言在许多实际问题中，常常需要根据一张函数表推算该函数在某些点上的函数值，或要求解决与该函数有关的一些问题，例如分析函数的性态，求导数、积分、零点与极值点等。
解决此类问题的简单途径之一是：根据函数表中给出的数据，选择一个比较合理且易计算的近似函数代替原来的函数。
虽然()x f 在某个区间[]b a ,上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出[]b a ,上一系列点i x 的函数值()() 2,1,0==i x f y i i ，这只是一张函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表，为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表中的函数值。
因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数()x f 的特性，又便于计算简单函数()x p ，用()x p 近似()x f .通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数多项式）作为()x f ，并使()()i i x f x p =对() 2,1,0=i 成立.这样确定的()x p 就是我们希望得到的插值函数.一 插值法的历史背景插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。
据考证，在公元六世纪时，我国刘焯(zhuo)已经把等距二次插值法应用于天文计算。
十七世纪时，Newton 和Gregory(格雷格里)建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日)给出了更一般的非等距节点插值公式。
而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。
许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。
二 五种插值法的基本思想 （一） 拉格朗日插值对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点：),(00y x ,……,),(k k y x , 其中i x 对应着自变量的位置，而i y对应着函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的i x都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为： )()(0x l y x L j kj j ∑==，其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：)()()()()()()()()(111100,0k j k j j j j j j j kj i i ij i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏，拉格朗日基本多项式()x l i 的特点是在jx 上取值为1，在其它的点ix ，j i ≠ 上取值为0.（二） 牛顿插值 1 差商定义一般地，k 阶差商为：[][][]10110,,,,,,,x x x x f x x f x x x f k k k k --=-我们知道差商的值只与节点有关而于节点的顺序无关，所以有：[][][]11202010,,,,,,,,,------=k k k k k k k x x x x x f x x x f x x x f2 牛顿插值公式下面我们从差商的定义来构造n 次代数插值多项式的另一种表达式—牛顿插值多项式。
由一阶差商的定义[],)()(,000x x x f x f x x f --=得[]000,)()()(x x f x x x f x f -+=类似地，由二阶差商至n 阶差商的定义可得到下列方程组[][][][][][][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=-n n n n x x x f x x x x x f x x x f x x x f x x x x f x x f x x f x x x f x f ,,,)(,,,,,,..............................................,,)(,,,)()()(01010101100000 解这个方程即得：[][][])()(,,,)()(,,)())((,)()()(0001101000x R x N x x x f x x x x x x f x x x x x x x x f x x x f x f n n n n +=--+---++-+=- [][]n n x x x f x x x x x x f x x x f x N ,,,)()(,)()()(10101000 ---++-+=其中为不高于n 次的多项式，可验证)()(i i x f x N =，称)(x N 是过n+1个插值点的n 阶Newton 插值多项式 （三） 埃尔米特插值对于函数f （x ），常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。
这时的插值函数P （x ），自然不仅要求在这些点等于f(x ）的函数值，而且要求P （x ）的导数在这些点也等于f （x)的导数值。
这就是埃尔米特插值问题，也称带导数的插值问题。
从几何上看，这种插值要寻求的多项式曲线不仅要通过平面上的已知点组，而且在这些点（或者其中一部分）与原曲线“密切”，即它们有相同的斜率。
设已知函数f(x)在插值区间[a,b]上n+1个互异的节点xi(i=0,1,…,n) 处的函数值f(xi)=fi 及一阶导数值()i x f ' = 'i f （i=0,1,2,…,n ）,若存在函数H(x)满足条件：（1）H （x ）是一个次数不超过2n+1次的多项式； （2）H （ix ）=f （ix ），'H （ix ）='f （i x ） （i=0,1,2,…,n ）.则称H （x ）为f （x ）在n+1个节点xi 上的埃尔米特插值多项式。
（四） 分段线性插值给定区间[]b a ,, 将其分割成bx x x a n =<<<= 10，已知函数)(x f y =在这些插值结点的函数值为),1,0)((n k x f y k k ==；求一个分段函数)(x I k ,使其满足：(1)kk h y x I =)(，),1,0(n k =；(2) 在每个区间[]1,+k k x x 上, )(x I h 是个一次函数.易知,)(x I h 是个折线函数, 在每个区间[]1,+k k x x 上,),1,0(n k =1111)(++++--+--=k kk kk k k k k h y x x x x y x x x x x I ,于是,)(x I h 在[]b a ,上是连续的，但其一阶导数是不连续的.于是即可得到如下分段线性插值函数：)()(0x l y x I ni i i n ∑==,其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤--=≤≤--=+++---.,0;,;0,111111其他时舍去时，且当时舍去时，且当n i x x x x x x x i x x x xx x x l i i i i i i i i ii i（五） 样条插值分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差；对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。