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2019年考研数学(二)真题及解析

2019年考研数学二真题一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.当0x →时,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 2.曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点是( ) (A )(0,2) (B )(,2)π- (C )(,)22ππ-(D )33(,)22ππ- 3.下列反常积分发散的是 ( ) (A )x xe dx +∞-⎰(B )2x xe dx +∞-⎰(C )20arctan 1x dx x +∞+⎰(D )201xdx x+∞+⎰ 4.已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()x xy C C x e e -=++,则,,a b c 依次为( )(A )1,0,1 (B )1,0,2 (C )2,1,3 (D )2,1,45.已知平面区域{(,)|}2D x y x y π=+≤,记1DI =,2DI =⎰⎰,3(1DI dxdy =-⎰⎰ ,则 ( )(A )321I I I << (B )213I I I << (C )123I I I << (D )231I I I << 6.设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续,则2()()lim0()x af xg x x a →-=-是两条曲线()y f x =,()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 ( )(A )充分不必要条件 (B )充分必要条件 (C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件 7. 设A 是四阶矩阵,*A 为其伴随矩阵,若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量,则(*)r A =( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )38.设A 是三阶实对称矩阵,E 是三阶单位矩阵,若22A A E +=,且4A =,则二次型T x Ax 的规范形是 ( )(A )222123y y y ++ (B )222123y y y +- (C )222123y y y -- (D )222123y y y ---二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.()20lim 2xxx x →+= .10.曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 的截距为 .11.设函数()f u 可导,2y z yf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则2z zx y x y ∂∂+=∂∂ . 12.曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 .13.已知函数21sin ()xt f x xdt t=⎰,则10()f x dx =⎰ .14.已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭,ij A 表示元素ij a 的代数余子式,则1112A A -= .三、解答题15.(本题满分10分)已知函数2,0()1,0xx xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩,求()f x ',并求函数()f x 的极值.16.(本题满分10分)求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰.17.(本题满分10分)设函数()y x是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =的特解.(1)求()y x 的表达式;(2)设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤,求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 18.(本题满分10分)设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤,计算二重积分D.19.(本题满分10分)设n 是正整数,记n S 为曲线求曲线sin (0)xy e x x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积,求n S ,并求lim .n n S →∞20.(本题满分11分)已知函数(,)u x y 满足关系式22222230u u ux y y ∂∂∂-+=∂∂∂.求,a b 的值,使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下,上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式.21.(本题满分11分)已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数,且(0)0,(1)1f f ==,1()1f x dx =⎰,证明:(1)至少存在一点(0,1)ξ∈,使得()0f ξ'=; (2)至少存在一点(0,1)η∈,使得()2f η''<-.. 22.(本题满分11分)已知向量组Ⅰ:12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭;向量组Ⅱ:12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价,求常数a 的值,并将3β用123,,ααα线性表示.23.(本题满分11分)已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似.(1)求,x y 之值;(2)求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=.2019年考研数学二真题解析一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.当0x →时,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k =( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4【答案】(C )【详解】当0x →时,331tan ()3x x x o x =++,所以331tan ()3x x x o x -=-+,所以3k =. 2.曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点是( )(A )(0,2) (B )(,2)π- (C )(,)22ππ- (D )33(,)22ππ-【答案】(D )【详解】sin 2cos y x x x =+,cos sin y x x x '=-,sin y x x ''=-,sin cos y x x x '''=--; 令sin 0y x x ''=-=得120,x x π==,且()0f π'''≠,所以(,2)π-是曲线的拐点; 而对于点(0,0),由于(0)0f '''=,而(4)(0)0f≠,所以不是曲线的拐点.3.下列反常积分发散的是 ( )(A )x xe dx +∞-⎰(B )2x xe dx +∞-⎰(C )20arctan 1x dx x +∞+⎰(D )201xdx x+∞+⎰【答案】(D )【详解】(1)当x →+∞时,2()1x f x x =+是关于1x的一阶无穷小,当然201x dx x +∞+⎰发散; (2)用定义:20201ln(1)|12x dx x x +∞+∞=+=+∞+⎰,当然201x dx x+∞+⎰发散. 4.已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()xx y C C x ee -=++,则,,a b c 依次为( )(A )1,0,1 (B )1,0,2 (C )2,1,3 (D )2,1,4 【答案】(D )【详解】(1)由非齐次线性方程的通解可看出121r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根,从而确定2,1a b ==;(2)显然,*xy e =是非齐次方程的特解,代入原方程确定4c =.5.已知平面区域{(,)|}2D x y x y π=+≤,记1DI =,2DI =⎰⎰,3(1DI dxdy =-⎰⎰ ,则 ( )(A )321I I I << (B )213I I I << (C )123I I I << (D )231I I I << 【答案】(A )【详解】(1)显然在区域D 22202x y π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭,此时由结论当0x >时sin x x >知道≤12I I >;(2)当0x >时,令()1cos sin f x x x =--,则()sin cos f x x x '=-,()sin cos f x x x ''=+; 令()0f x '=得到在(0,)2π唯一驻点4x π=,且04f π⎛⎫''>⎪⎝⎭,也就是()1cos sin f x x x =--在4x π=取得极小值04f π⎛⎫<⎪⎝⎭,在0,2x x π==同时取得在[0,]2π上的最大值(0)()02f f π==,也就有了结论,当(0,)2x π∈时,1cos sin x x -<,也就得到了32I I <;由(1)、(2)可得到321I I I <<.6.设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续,则2()()lim0()x af xg x x a →-=-是两条曲线()y f x =,()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 ( )(A )充分不必要条件 (B )充分必要条件 (C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】(A ) 【详解】充分性:(1)当2()()lim0()x af xg x x a →-=-进,由洛必达法则,2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''===-⇒=-- 也就是两条曲线在x a =对应的点处相切; (2)2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''''''===-⇒=--由曲率公式k =x a =对应的点处曲率相等.必要性不正确的原因在于,虽然相切能得到()()f a g a ''=,但在相切前提下,曲率相等,只能得到()()f a g a ''''=,不能确定()()f a g a ''''=,当然得不到2()()lim0()x af xg x x a →-=-.7. 设A 是四阶矩阵,*A 为其伴随矩阵,若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量,则(*)r A =( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )3【答案】(A )【详解】线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量,也就是4()2()213r A r A n -=⇒=<-=, 所以(*)0r A =.8.设A 是三阶实对称矩阵,E 是三阶单位矩阵,若22A A E +=,且4A =,则二次型T x Ax 的规范形是 ( )(A )222123y y y ++ (B )222123y y y +- (C )222123y y y -- (D )222123y y y ---【答案】(C )【详解】假设λ是矩阵A 的特征值,由条件22A A E +=可得220λλ+-=,也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-.而1234A λλλ==,所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-,根据惯性定理,二次型的规范型为222123y y y --.二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.()20lim 2xxx x →+= .【答案】24e解: ()()02(21)22lim2(1ln 2)20lim 2lim 1214x x x x x x xxx x x x ee e →+-+→→+=++-===10.曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 的截距为 .【答案】322π+ 【详解】32sin ,|11cos t dy t dy dx t dx π===--,所以切线方程为331(1)222y x x ππ=---=-++,在y 的截距为322π+. 11.设函数()f u 可导,2y z yf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则2z zx y x y ∂∂+=∂∂ . 【答案】22z zy x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭【详解】3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂''=-=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭,22z z y x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭.12.曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 .【答案】1ln 32【详解】sec ds xdx ===66001sec ln(sec tan )|ln 3.2s xdx x x ππ==+=⎰13.已知函数21sin ()xt f x x dt t=⎰,则10()f x dx =⎰ .【答案】1(cos11)4-. 【详解】(1)用定积分的分部积分:2111112000102112201021121220100210sin ()()|()()sin 1sin ()sin 21sin 11|sin sin 22211cos |(cos11)44xx x t f x dx xf x xf x dx x dt dx x x dxtt dt dx x x dxt t x dt x x dx x x dx t x '=-=--=--=--=-==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)转换为二重积分:22211111120010000sin sin sin 11()sin (cos11)24x t x t t t f x dx x dt dx xdx dt dt xdx t t dt t t t ⎛⎫==-=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰14.已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭,ij A 表示元素ij a 的代数余子式,则1112A A -= . 【答案】4-【详解】111211121314110021110043221034A A A A A A ----=-++==---.三、解答题15.(本题满分10分)已知函数2,0()1,0xx xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩,求()f x ',并求函数()f x 的极值.【详解】当0x >时,22ln ()xx x f x xe ==,2()2(ln 1)xf x x x '=+;当0x <时,()1xf x xe =+,()(1)xf x x e '=+;在0x =处,22000()(0)12(ln 1)(0)lim lim lim 1x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞,所以()f x 在0x =处不可导.综合上述:22(ln 1),0()(1),0x xx x x f x x e x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩; 令()0f x '=得到1211,x x e=-=. 当1x <-时,()0f x '<,当10x -<<时,()0f x '>,当10x e <<时,()0f x '<,当1x e>时,()0f x '>; 故11x =-是函数的极小值点,极小值为1(1)1f e --=-;0x =是函数的极大值点,极大值为(0)1f =;21x e=是函数的极小值点,极小值为21()e f e e -=.16.(本题满分10分)求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰.【详解】22222223623213(1)2ln 1(1)(1)1(1)11132ln 1ln(1)1x x d x x dx dx x x x x x x x x x x x x x x C x ⎛⎫++++=-++=---+ ⎪-++--++-++⎝⎭=---++++-⎰⎰⎰17.(本题满分10分)设函数()y x是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =(1)求()y x 的表达式;(2)设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤,求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 【详解】(1)这是一个一阶线性非齐次微分方程.先求解对应的线性齐次方程0y xy '-=的通解:22x y Ce =,其中C 为任意常数; 再用常数变易法求22x y xy e'-=通解,设22()x y C x e=为其解,代入方程,得2222(),()x x C x e e C x ''==,1()C x C ==,也就是通解为:221)x y C e =+把初始条件(1)y =10C =,从而得到22().x y x xe =(2)旋转体的体积为2222411()()2x x V y x dx xe dx e e πππ===-⎰⎰.18.(本题满分10分)设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤,计算二重积分D.【详解】显然积分区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤关于y 轴对称,由对称性,显然0D=;233sin 5440441sin sin 2120DDd r dr d ππθππθθθθ====⎰⎰⎰ 19.(本题满分10分)设n 是正整数,记n S 为曲线求曲线sin (0)xy ex x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积,求n S ,并求lim .n n S →∞【详解】先求曲线与x 轴的交点:令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k n π==L 当2(21)k x k ππ<<+时,sin 0xy e x -=>;当2(22)k x k πππ+<<+时,sin 0x y e x -=<.由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k xk k e xdx e e πππππ+---=+⎰,22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为0sin n x n S e xdx π-=⎰.当n 为奇数时,(21)22221022022002(1)2222(1)20sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)(1)22121nnn k k xxx n k k k k nnk k k k n n k n k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e e e πππππππππππππππππππππ+++---++==-----==-+-----+--===-=+++-+=+=+=---∑∑⎰⎰⎰∑∑∑同理:(2)22011sin (1)21n xn n e S exdx e eππππ----+==--⎰显然,有21211lim lim 21n n n n e S S e ππ+-→∞→∞+==-.所以11lim 21n n e S e ππ-→∞+=-.20.(本题满分11分)已知函数(,)u x y 满足关系式22222230u u ux y y ∂∂∂-+=∂∂∂.求,a b 的值,使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下,上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式.【详解】在变换(,)(,)ax byu x y v x y e+=之下(,)ax byax by u v e av x y e x x++∂∂=+∂∂,(,),ax by ax by u v e bv x y e y y ++∂∂=+∂∂ 222222(,)ax by ax byax by u v v e a e a v x y e x x x+++∂∂∂=++∂∂∂, 222222(,)ax by ax byax by u v v e b e b v x y e y y y +++∂∂∂=++∂∂∂; 把上述式子代入关系式22222230u u ux y y∂∂∂-+=∂∂∂,得到222222224(34)(223)(,)0v v v va b a b b v x y x y x y∂∂∂∂-++-+-+=∂∂∂∂ 根据要求,显然当30,4a b ==时,可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式. 21.(本题满分11分)已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数,且(0)0,(1)1f f ==,1()1f x dx =⎰,证明:(1)至少存在一点(0,1)ξ∈,使得()0f ξ'=; (2)至少存在一点(0,1)η∈,使得()2f η''<-. 证明 (1)令0()()xx f t dt Φ=⎰,则1(0)0,(1)()1f x dx Φ=Φ==⎰,则由于()f x 在[]0,1连续,则()x Φ在[]0,1上可导,且()()x f x 'Φ=,则由拉格朗日中值定理,至少存在一点1(0,1)ξ∈,使得()(1)(0)ξ'Φ=Φ-Φ,也就是1101()()(1)f x dx f f ξ===⎰;对()f x 在()1,1ξ上用罗尔定理 ,则至少存在一点1(,1)(0,1)ξξ∈⊂,使得()0f ξ'=;(2)令2()()F x f x x =+,则显然,()F x 在[]0,1具有二阶导数,且211(0)0,(1)2,()1F F F ξξ===+.对()F x 分别在[][]110,,,1ξξ上用拉格朗日中值定理,至少存在一点11(0,)ηξ∈,使得211111()(0)1()0F F F ξξηξξ-+'==-; 至少存在一点21(,1)ηξ∈,使得1211()(1)()11F F F ξηξξ-'==+-;对()()2F x f x x ''=-在[]12,ηη上用拉格朗日中值定理,则至少存在一点12(,)(0,1)ηηη∈⊂,使得211212111()()()0F F F ηηξηηηηη-''-''==<--,也就是()2f η''<-.22.(本题满分11分)已知向量组Ⅰ:12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭;向量组Ⅱ:12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价,求常数a 的值,并将3β用123,,ααα线性表示.【详解】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==1231232222111101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-+----⎝⎭⎝⎭(1)当1a =时,显然, 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===,两个向量组等价.此时,123311111023(,,;)0112011200000000αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,也就是3123(23)(2)k k k βααα=-++-+,其中k 为任意常数;(2)当1a ≠时,继续进行初等行变换如下:12312322111101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-+⎝⎭⎝⎭显然,当1a ≠-且1a ≠时,123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==,同时()123101101101,,02202201111101001a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,123(,,)3r βββ=,也就是 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===,两个向量组等价.这时,3β可由123,,ααα线性表示,表示法唯一:3123βααα=-+.23.(本题满分11分)已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似.(1)求,x y 之值;(2)求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=.【详解】(1)由矩阵相似的必要条件可知:A B trA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩,解得32x y =⎧⎨=-⎩.(2)解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-;分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为:1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭,则1P 可逆,且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭;同样的方法,可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为:1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则2P 可逆,且12212P BP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭;由前面111122P AP P BP --=,可知令112111212004P PP --⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭,就满足1P AP B -=.。

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