2-1 第一章常用逻辑用语小结与复习(教案)【知识归类】1．命题：能够判断真假的陈述句.2. 四种命题的构成:原命题:若p则q;逆命题:若q则p;否命题:若p⌝则⌝则p⌝.⌝;逆否命题: 若qq一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系:原命题为真,它的逆命题真假不一定. 原命题为真,它的否命题真假不一定.原命题为真,它的逆否命题真命题. 逆命题为真,它的否命题真命题.原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是同真同假.逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假.3. 充分条件与必要条件:⇒:p是q充分条件; q是p必要条件;p q⇔是的充分必要条件，简称充要条件.:p q p q4. 逻辑联接词: “且”、“或”、“非”分别用符号“∧”“∨”“⌝”表示，意义为：或：两个简单命题至少一个成立；且：两个简单命题都成立；非：对一个命题的否定.按要求写出下面命题构成的各复合命题，并注明复合命题的“真”与“假”.p:矩形有外接圆; :q矩形有内切圆.或矩形有外接圆或内切圆（真）p q:且矩形有外接圆且有内切圆（假）p q:非p:矩形没有外接圆（假）5. 全称量词与全称命题：常用的全称量词有：“所有的”、“任意的”、“每一个”、“一切”、“任给”等，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫全称命题.6. 存在量词与特称命题：常用的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”、“某个”等，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫特称命题.(1) p 与p ⌝的真假相异,因此,欲证p 为真,可证p ⌝为假,即将p ⌝作为条件进行推理,如果导致矛盾,那么p ⌝必为假,从而p 为真.(2) “,p q 若则”与“q p ⌝⌝若则”等价.欲证“,p q 若则”为真,可由假设“q ⌝”来证明“p ⌝”,即将“q ⌝”作为条件进行推理,导致与已知条件p 矛盾.（3）由“,p q 若则”的真假表可知，“,p q 若则”为假，当且仅当p 真q 假，所以我们假设“p 真q 假”，即从条件p 和q ⌝出发进行推理，如果导致与公理、定理、定义矛盾，就说明这个假设是错误的，从而就证明了“,p q 若则”是真命题.后两条的逻辑基础,可以概括成一句话:“否定结论，推出矛盾”.【题型归类】题型一：四种命题之间的关系例1 命题“20(b a b +=∈2若a 、R ），则a=b=0”的逆否命题是（ D ）.(A) ≠≠若 a b 0∈(a,b R),则20b +≠2a(B) ≠若 a=b 0∈(a,b R),则20b +≠2a(C) 0≠≠若 a 且b 0∈(a,b R),则20b +≠2a(D) 0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a【审题要津】命题结论中的a=b=0如何否定是关键.解: a=b=0是a=0且b=0,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a ,故应选D【方法总结】一个命题结论当条件，条件作结论得到的命题为原命题的逆否命题.题型二：充分、必要条件题型例2 “,,αβγ 成等差数列”是“等式αγβsin(+)=sin2成立”的 （ A ）.（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条件【审题要津】,,αβγ 成等差数列,说明2αγβ+= ,问题的关键是由两个角的正弦值相等是否一定有两个角相等.解: 由,,αβγ 成等差数列,所以2αγβ+= ,所以αγβsin(+)=sin2成立,充分;反之,由αγβsin(+)=sin2成立,不见得有,,αβγ 成等差数列,故应选A.【方法总结】p q ⇒:p 是q 充分条件; q 是p 必要条件,否则:p 是q 的不充分条件; q 是p 不必要条件.变式练习：“1a =”是“,21a x x x+≥对任意的正数”的 （ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条件例3 221:212;:210(0)3x p q x x m m --≤-≤-+-≤>已知，若p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件，求实数m 的取值范围. 【审题要津】命题p ,q 可以化的更简,由p ⌝和q ⌝的关系可以得到p 与q 的关系,利用集合的理论方法将问题解决.解: 由22210x x m -+-≤得：11,(0)m x m m -≤≤+>，{}:11,0q A x x m x m m ∴⌝=>+<->或.{}112210,:2103x x p B x x x -≤-≤-≤≤∴⌝=<->由-2得或. 由p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件知：p 是q 的充分但不必要条件，即B A⊆于是：012110m m m >⎧⎪-≥-≤⎨⎪+≤⎩解得0<m 3为所求.【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法，体现了集合的应用，能把各种关系清楚地描绘出来.题型三：复合命题真假的判断例4 已知2:10p x mx ++=方程有两个不等的负实数根；q ：方程24x +()4210m x -+=无实根, p q p q 若或为真，且为假，求m 的取值范围.【审题要津】把两个方程化简，然后根据p q p q 或及且列不等式组，方可求m的取值范围.解：240,:2;0m p m m ⎧∆=->>⎨>⎩解得 ()()22:16216164301 3.q m m m m ∆=--=-+<<<解得 p q p q 或及且，p q p q ∴为真，为假或为假，为真，2,2,3121 3.13m m m m m m m >≤⎧⎧≥<≤⎨⎨<<≤≥⎩⎩即或解得或或 【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、p q p q 或及且两类复合命题的真假判断.变式练习：设有两个命题, p :不等式1x x a ++>的解集为R, q :函数()f x =()73xa --在R 上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则a 的取值范围是12a ≤<.题型四：全称命题、特称命题例5 设,A B 为两个集合,下列四个命题:(1),A B x A x B ⊆⇔∀∈∉有 (2) A B A B ⊄⇔=∅(3) A B B A ⊄⇔⊄ (4) A B x A x B ⊄⇔∃∈∉使得其中真命题的序号为(4).【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以排除假命题.解: {}{}{}1231241112A B A B A B A B ==⊄∈∈=若，，，，，，满足，但且，，,所以(1),(2)是假命题; {}{}1241A B A B B A ==⊄⊆若，，，，满足但,所以(3)是假命题,只有(4)为真命题.【方法总结】全称命题通过“举反例”来否定.变式练习：下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( A ).(A) ()n 90sin ααα︒-=有一个使si (B) sin 2x x π=存在实数，使(C) (),sin 180sin ααα︒-=对一切(D) sin15sin 60cos 45cos60sin 45︒︒︒︒︒=-题型五：综合应用例 6 已知关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=有两个实数根,αβ.证明: 2α< 且2244b βα<<+<是且b 的充要条件.【审题要津】充要条件的证明题都必须从充分和必要两个方面加以证明,其中的充分性是由条件推出结论，从题目的叙述中可以看出，2α<且2β<是条件，244b α<+<且b 是结论，由于二次方程的根由相应的二次函数的图象与x轴的交点直观的表示出来，因此可以其直观性帮助解题。

证明：（1）充分性：由韦达定理得224αβαβ==<⨯=b .设2()f x x ax b =++,则函数()f x 的图象是开口向上的抛物线,又2α<,2β<,(2)0f ∴±>.即有420a b ++>,420a b -+>联立解得24a b <+.(2)必要性: 由24a b <+(2)0f ⇒±>且()f x 的图象是开口向上的抛物线,∴方程 ()0f x =的两根,αβ同在(2,2)-内或无实根. ,αβ是方程()0f x =的根, ,αβ同在(2,2)-内,即2α<且2β<.【方法总结】从本题的要求看,需首先判定条件的充分性和必要性,判定的一般步骤是(1)先分清条件与结论,(2)进行互推,(3)根据定义下结论.【思想方法】1.数学思想：本部分用到的数学思想有：划归思想，分类讨论思想亦即否定思想.2.数学方法:本部分用到的数学主要是反证法,否定一个命题经常通过“举反例”来说明.1．对任意实数给出下列命题：（1）“a b =”是“ac bc =”的充要条件；（2）“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；（3）“a b >”是“22a b >” 的充分条件；（4）“5a <”是“3a <”的必要条件其中真命题的个数是 （ B ）.（ A ） 1 ( B ) 2 （ C ） 3 （ D ） 42. “x y =”是“x y =”的 （ B ）.（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 （ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件3.设a ∈R 则111a a><是 的 （ A ）.（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 （ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件4. “5x >”的一个必要不充分条件是 （ B ）.（ A ）6x > ( B ) 3x >（ C ）6x < （ D ）100x >5.在ABC ∆中， “A>30︒”是“1sin 2A > ”的 （B ）. （ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件6. 设,M N 是两个集合，则“M N ≠∅”是“M N ≠∅”的 ( B ) .（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 （ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件7. 已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）. （ A ）()p q ⌝∨ （ B ）p q ∧ C ）()()p q ⌝∧⌝ （ D ）()()p q ⌝∨⌝8. 已知命题：对任意的实数x ，若2x >则24x >.写出它的逆、否、逆否命题，并判断其真假.解: 逆命题: x ∀∈R, 2若x >4则x>2 (假)否命题: x ∀∈R, 4≤≤2若x 2则x （假）逆否命题: x ∀∈R, ≤≤2若x 4则x 2 （假）9.已知命题：矩形的对角线相等.(1)写出这个命题的否命题,并判断真假；（2）写出这个命题的否定，并判断真假.解：（1）先将命题改写成“若p 则q ”的形式：若四边形是矩形，则它的对角线相等.否命题:若四边形不是矩形,则它的对角线不相等(假).这是一个全称命题,所以它的否定是:有些矩形的对角线不相等(假).10.已知方程()22210x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.解：令()22()21f x x k x k =+-+，方程有两个大于1的实数根()221,2140,42111,.22(1)0,210.k k k k k f k k ⎧≤⎧⎪∆=--≥⎪⎪-⎪⎪⇔-><-⎨⎨⎪⎪><->⎪⎪⎩⎪⎩即或 所以其充要条件为 2.k <-。