2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B 中元素的个数为( ) A.1B.2C.3D.42.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.已知sin α-cos α=43,则sin 2α=( )A.-79 B .-29 C .29D.795.设x,y 满足约束条件{3x +2y -6≤0,x ≥0,y ≥0,则z=x-y 的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]6.函数f(x)=15sin (x +π3)+cos (x -π6)的最大值为( ) A.65B.1C.35D.157.函数y=1+x+sinx x 2的部分图象大致为( )8.执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为( )A.5B.4C.3D.29.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π410.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC11.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )A.√63B.√33C.√23D.1312.已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )A.-12B.13C.12D.1第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a ⊥b,则m= . 14.双曲线x 2a -y 29=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a= .15.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 16.设函数f(x)={x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f(x)+f (x -12)>1的x 的取值范围是 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.(12分)设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n. (1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{an2n+1}的前n 项和.18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y 的所有可能值,并估计Y 大于零的概率.19.(12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.21.(12分)已知函数f(x)=ln x+ax 2+(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a<0时,证明f(x)≤-34a -2.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为{x =2+t ,y =kt (t 为参数),直线l 2的参数方程为{x =-2+m ,y =m k(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C.(1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ+sin θ)-√2=0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.23.[选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)一、选择题1.B 因为集合A 和集合B 有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A∩B 中元素的个数为2. 2.C z=i(-2+i)=-2i+i 2=-2i-1=-1-2i,所以复数z 在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选C.3.A 由题中折线图可知,每年的月接待游客量从8月份开始有下降趋势.故选A.4.A ∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=(43)2=169,∴sin 2α=-79.5.B 由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).由图可知,目标函数z=x-y 在点A,B 处分别取得最小值与最大值,z min =0-3=-3,z max =2-0=2, 故z=x-y 的取值范围是[-3,2].故选B.6.A ∵f(x)=15sin (x +π3)+cos (x -π6) =15(12sinx +√32cosx)+√32cos x+12sin x =35sin x+3√35cos x=35×2sin (x +π3)=65sin (x +π3), ∴f(x)的最大值为65.故选A.7.D 当x ∈(0,1)时,sin x>0,∴y=1+x+sinx x 2>1+x>1,排除A 、C. 令f(x)=x+sinx x 2,则f(-x)=-x+sin (-x )(-x )2=-f(x),∴f(x)=x+sinx x 2是奇函数,∴y=1+x+sinx x 2的图象关于点(0,1)对称,故排除B.故选D.8.D 本题考查程序框图.要求N 的最小值,观察选项,发现其中最小的值为2,不妨将2代入检验.当输入的N 为2时,第一次循环,S=100,M=-10,t=2;第二次循环,S=90,M=1,t=3,此时退出循环,输出S=90,符合题意,故选D.9.B 设圆柱的底面圆半径为r, 由题意可得12+(2r)2=22, 解得r=√32.∴圆柱的体积V=πr 2×1=3π4,故选B.10.C ∵A 1B 1⊥平面BCC 1B 1,BC 1⊂平面BCC 1B 1,∴A 1B 1⊥BC 1,又BC 1⊥B 1C,且B 1C∩A 1B 1=B 1,∴BC 1⊥平面A 1B 1CD,又A 1E ⊂平面A 1B 1CD,∴BC 1⊥A 1E.故选C. 11.A 由题意可得a=√b 2+(-a ),故a 2=3b 2,又b 2=a 2-c 2,所以a 2=3(a 2-c 2),所以c 2a 2=23, 所以e=c a =√63.12.C 由函数f(x)有零点得x -2x+a(e +e )=0有解,即(x-1)2-1+a(e x-1+e-x+1)=0有解,令t=x-1,则上式可化为t 2-1+a(e t+e -t)=0,即a=1-t 2e t +e -t.令h(t)=1-t 2e t +e -t,易得h(t)为偶函数,又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a 有唯一交点,则此交点的横坐标为0, 所以a=1-02=12,故选C.二、填空题 13.答案 2解析 ∵a⊥b,∴a·b=0,又a=(-2,3),b=(3,m),∴-6+3m=0,解得m=2. 14.答案 5解析 由题意可得3a =35,所以a=5.15.答案 75° 解析 由正弦定理得3sin60°=√6sinB,∴sin B=√22,又∵c>b,∴B=45°,∴A=75°.16.答案 (-14,+∞)解析 当x≤0时,f(x)+f (x -12)=x+1+x-12+1>1,∴x>-14,∴-14<x≤0;当0<x≤12时,f(x)+f (x -12)=2x+x-12+1>1恒成立;当x>12时, f(x)+f (x -12)=2x+2x -12>1恒成立.综上,x 的取值范围为(-14,+∞). 三、解答题17.解析 (1)因为a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n,故当n≥2时, a 1+3a 2+…+(2n -3)a n-1=2(n-1). 两式相减得(2n-1)a n =2. 所以a n =22n -1(n≥2).又由题设可得a 1=2,从而{a n }的通项公式为a n =22n -1(n∈N *). (2)记{a n 2n+1}的前n 项和为S n . 由(1)知a n2n+1=2(2n+1)(2n -1)=12n -1-12n+1.则S n =11-13+13-15+…+12n -1-12n+1=2n2n+1.18.解析 本题考查概率的计算(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为2+16+3690=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100. 所以,Y 的所有可能值为900,300,-100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为36+25+7+490=0.8,因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.19.解析 (1)取AC 的中点O,连接DO,BO. 因为AD=CD,所以AC⊥DO.又由于△ABC 是正三角形,所以AC⊥BO. 从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD. (2)连接EO.由(1)及题设知∠ADC=90°,所以DO=AO. 在Rt△AOB 中,BO 2+AO 2=AB 2. 又AB=BD,所以BO 2+DO 2=BO 2+AO 2=AB 2=BD 2,故∠DOB=90°. 由题设知△AEC 为直角三角形,所以EO=12AC. 又△ABC 是正三角形,且AB=BD,所以EO=12BD.故E 为BD 的中点,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.20.解析 (1)不能出现AC⊥BC 的情况,理由如下: 设A(x 1,0),B(x 2,0),则x 1,x 2满足x 2+mx-2=0,所以x 1x 2=-2.又C 的坐标为(0,1),故AC 的斜率与BC 的斜率之积为-1x 1·-1x 2=-12,所以不能出现AC⊥BC 的情况.(2)BC 的中点坐标为(x 22,12),可得BC 的中垂线方程为y-12=x 2(x -x22). 由(1)可得x 1+x 2=-m,所以AB 的中垂线方程为x=-m2.联立{x =-m2,y -12=x 2(x -x22), 又x 22+mx 2-2=0,可得{x =-m2,y =-12.所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为(-m2,-12),半径r=√m 2+92.故圆在y 轴上截得的弦长为2√r 2-(m 2)2=3,即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 21.解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1x +2ax+2a+1=(x+1)(2ax+1)x.若a≥0,则当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x∈(0,-12a )时, f '(x)>0;当x∈(-12a ,+∞)时, f '(x)<0,故f(x)在(0,-12a )单调递增,在(-12a ,+∞)单调递减.(2)由(1)知,当a<0时, f(x)在x=-12a 取得最大值,最大值为f (-12a )=ln (-12a )-1-14a . 所以f(x)≤-34a-2等价于ln (-12a)-1-14a ≤-34a -2,即ln (-12a )+12a +1≤0. 设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=1x-1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln (-12a )+12a +1≤0,即f(x)≤-34a -2.22.解析 (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1:y=k(x-2);消去参数m 得l 2的普通方程l 2:y=1k (x+2).设P(x,y),由题设得{y =k (x -2),y =1k (x +2). 消去k 得x 2-y 2=4(y≠0).所以C 的普通方程为x 2-y 2=4(y≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 联立{ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,ρ(cosθ+sinθ)-√2=0得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-13,从而cos 2θ=910,sin 2θ=110,代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5,所以交点M 的极径为√5.23.解析 (1)f(x)={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时, f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1, 解得1≤x≤2;当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x 2-x+m 得m≤|x+1|-|x-2|-x 2+x.而 |x+1|-|x-2|-x 2+x≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x| =-(|x |-32)2+54≤54, 且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54.故m 的取值范围为(-∞,54].。