学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？
答 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12
×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．
思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?
答 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′
(x )＋c ′＝f (x )．
1．微积分基本定理
(1)条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )；
(2)结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；
(3)符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．
2．常见的原函数与被积函数关系
(1)ʃb a C d x ＝Cx |b a (C 为常数)．
(2)ʃb a x n d x ＝
⎪⎪⎪1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)． (3)ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a .
(4)ʃb a cos x d x ＝sin x |b a .
(5)ʃb
a 1x d x ＝ln x |
b a (b >a >0)．
(6)ʃb a e x
d x ＝
e x |b a .
(7)ʃb a a x
d x ＝ ⎪
⎪⎪a x ln a b a (a >0且a ≠1)． (8)ʃb
a x d x ＝
⎪⎪⎪23x 32b a (b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系
思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？
答 当被积函数f (x )≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f (x )≥0不恒成立，则不相等．
设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则
(1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃb
a f (x )d x ＝S 上．
(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．
(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则ʃb
a f (x )d x ＝S 上－S 下．特别地，若S 上＝S 下，则ʃ
b a f (x )d x ＝0.
类型一 定积分的求法
例1 (1)定积分ʃ10(2x ＋e x )d x 的值为( )
A ．e ＋2
B ．e ＋1
C ．e
D ．e －1 (2)ʃ20|1－x 2|d x ＝________.
(3)ʃ2
1[2x 2＋x ＋1x
－cos x ]d x ＝________. 答案 (1)C (2)2 (3)4＋ln 2－sin 2＋sin 1
解析 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－1＝e.故选C.
(2)|1－x 2|＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，0≤x ≤1，x 2－1，1<x ≤2. ʃ20|1－x 2|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x
＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 310＋ ⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 21
＝23＋73
－1＝2. (3)ʃ2
1[2x 2＋x ＋1x
－cos x ]d x ＝ʃ21(2x ＋1＋1x
－cos x )d x ＝(x 2＋x ＋ln x －sin x )|21
＝6＋ln 2－sin 2－(2－sin 1)
＝4＋ln 2－sin 2＋sin 1.
反思与感悟 1.掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
2．被积函数会有绝对值号，可先求函数的零点，结合积分区间、分段求解．
跟踪训练1 (1)计算定积分ʃ
1－1(x 2＋sin x )d x ＝______. 答案 23
解析 ʃ
1－1(x 2＋sin x )d x ＝ ⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x 1－1 ＝(13－cos 1)－(－13－cos 1)＝23
. (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1<x ≤2，求ʃ2
0f (x )d x . 解 ʃ20f (x )d x
＝ʃ10(1＋2x )d x ＋ʃ21x 2d x
＝(x ＋x 2)|10＋
⎪⎪⎪13x 321 ＝2＋73＝133
. 类型二 利用定积分求参数
例2 (1)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．
(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．
答案 (1)[23，2] (2)33
解析 (1)ʃ21(kx ＋1)d x ＝ ⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1.
由2≤32k ＋1≤4得23
≤k ≤2. (2)ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x
＝ ⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . f (x 0)＝ax 2
0＋c ，
∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33
. ∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33
. 反思与感悟 1.含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．
跟踪训练2 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________． 答案 [0,2)
解析 f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t
＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2(x ∈(0,1])．
∴f (x )的值域为[0,2)．
(2)已知ʃ10[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．
解 ʃ10[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x
＝ʃ10[3ax 2＋(3ab ＋1)x ＋b ]d x
＝ ⎪
⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 3＋12(3ab ＋1)x 2＋bx 10 ＝a ＋12
(3ab ＋1)＋b ＝0， 即3ab ＋2(a ＋b )＋1＝0.
由于(a ＋b )2＝a 2＋b 2
＋2ab ≥4ab ，
所以(－3ab ＋12
)2≥4ab ，即9(ab )2－10ab ＋1≥0， 得(ab －1)(9ab －1)≥0，解得ab ≤19
或ab ≥1. 所以ab 的取值范围是(－∞，19]∪[1，＋∞).。