（1）若p ，求抛物线C2的焦点坐标；
（2）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
22．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣x+aln（x+1），其中a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若函数f（x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，证明： ．
2021届湖南省新高考数学模拟试卷
①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；
②对于任意x，y∈T，若x＜y，则 ∈S；下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
二．填空题（共7小题，满分36分）
11．我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列{ }就是二阶等差数列，数列{ }，（n∈N*）的前3项和．
A． B．
C． D．
【解答】解：f（x） ，则f（﹣x） f（x），
则函数f（x）为奇函数，故A，C错误，
当x＞1时，f（xபைடு நூலகம்＞0，故排除B，
A．3B．5C．3或5D．2或3
3．若不等式组 所表示的平面区域的面积为2，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数f（x） 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．20B．24C．60D．80
6．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
（1）若{bn}为等比数列，公比q＞0，且b1+b2＝6b3，求q的值及数列{an}的通项公式；
（2）若{bn}为等差数列，公差d＞0，证明：c1+c2+c3+…+cn＜1 ，n∈N*．
21．（15分）如图，已知椭圆C1： y2＝1，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），点A是椭圆C1与抛物线C2的交点．过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M（B，M不同于A）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．数列{an}满足an﹣an+1＝kan•an+1（k为实数，n∈N*），数列{bn}满足bn ，且b1+b2+…+b9＝90，则b4•b6的最大值是（ ）
A．10B．100C．200D．400
8．椭圆 ）的右焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点F重合，点P是椭圆C与抛物线E的一个公共点，点Q（0，1）满足QF⊥QP，则椭圆C的离心率为（ ）
12．（6分）设a dx，则二项式（x2 ）6的展开式中常数项的值为．
13．（6分）已知3cos2α＝4sin（ α），α∈（ ，π），则sin2α＝
14．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中AB＝2，AA1＝3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1与正四棱锥O﹣A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则 ．
A． 1B． C． D． 1
9．已知函数f（x）＝log2（x2+2）+klog2（ x），若对任意t∈（﹣1，3），任意x∈R，不等式f（x）+f（﹣x）≥kt+1恒成立，则k的取值范围为（ ）
A．（ ，1）B．[ ，1]C．（﹣1， ）D．[﹣1， ]
10．设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
2021届湖南省新高考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝（ ）
A．{x|1＜x≤2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|3≤x＜4}D．{x|1＜x＜4}
2．设复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m+6）i，（m∈R），则当z表示实数时，m的值为（ ）
19．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，D、E、F、G分别为AA1，AC、A1C1、BB1，的中点，且 ， ， ．
（1）证明：AF∥平面BEC1；
（2）证明：AC⊥FG；
（3）求直线BD与平面BEC1所成角的正弦值．
20．（15分）已知数列{an}，{bn}，{cn}满足a1＝b1＝c1＝1，cn+1＝an+1﹣an，cn+1 •cn（n∈N*）．
15．（6分）已知直线y＝kx+b（k＞0）与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+y2＝1均相切，则k＝，b＝．
16．（6分）已知一个袋子中装有1个黑球、2个白球、3个红球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，则摸出白球比黑球多一个的概率为，记摸到的白球的个数为X，则随机变量X的数学期望是．
3．若不等式组 所表示的平面区域的面积为2，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：图中点A（2，0）， ，C（0，2），故阴影部分的面积为 ，解之得 ， ，设点P（x，y）， ，则m的几何意义是点P与点D（1，﹣2）连线的斜率，由图可知，m≤﹣4或 ，故取值范围是 ．
故选：C．
4．函数f（x） 的图象大致为（ ）
故选：B．
2．设复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m+6）i，（m∈R），则当z表示实数时，m的值为（ ）
A．3B．5C．3或5D．2或3
【解答】解：∵复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m+6）i（m∈R）是实数，
∴m2﹣5m+6＝0，即（m﹣3）（m﹣2）＝0，解得m＝3或2．
故选：D．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝（ ）
A．{x|1＜x≤2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|3≤x＜4}D．{x|1＜x＜4}
【解答】解：集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，
则P∩Q＝{x|2＜x＜3}．
17．已知平面向量 ， 满足|2 | ，设 ， 3 ，向量 ， 的夹角为θ，则cos2θ的最小值为．
三．解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）已知△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（sinB+sinC）2＝sin2A+sinBsinC．
（1）求A；
（2）若b+c＝6，△ABC的面积为 ，求a．