其中 c 为物体的比热, 为物体的密度.
如果所考察的物体内部没有热源, 由于热量守恒,
Q2 Q1
c[u(x, y, z,t2 ) u(x, y, z,t1)]dv
[t2
t1
k u dS]dt n
4
先对 Q1 进行变形
Q1
t2 [
t1
k u dS]dt, n
Q1
[t2
t1
k 为常数， n 为曲面 dS 沿热流方向的法线.
2
dQ k(x, y, z) u dSdt, n
为了导出温度 u 所满足的方程, 在物体G内任取
一闭曲面 , 它所包围的区域记作 , 则从时刻 t1
到时刻 t2 经过曲面 流入区域 的热量为
Q1
t2 [
t1
k u dS]dt, n
其中 u 表示 u 对曲面的外法向导数.
已知物体表面上各点的热流量 q, 也就是说在
单位时间内流过单位面积的热量是已知的，
由傅里叶实验定律可知
q
k
u n
|S
,
u n |S f2 (x, y, z,t),
其中 f2 (x, y, z,t) q / k 是定义在边界曲面S，且
t 0 上的已知函数.
特别地，如果物体表面上各点的热流量为0,
电流,或有化学反应等情况), 设热源密度(单位时
间内单位体积所产生的热量)为 F(x, y, z,t),
则在时间间隔 (t1,t2 ) 中区域 内所产生的热量为
Q3
Hale Waihona Puke t2 (t1F(x, y, z,t)dv)dt.
同样由于热量要平衡,
c[u(x, y, z,t2) u(x, y, z,t1)]dv
其中 (x, y, z) 为已知函数。 1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
设所考察的物体G的边界曲面为S，已知物
表面体温度函数为 f1(x, y, z, t), 即
u(x, y, z,t) |S f1(x, y, z,t), (x, y, z) S.
10
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）
u 0 或 2u 0.
12
2.泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程)
1.2 热传导方程与定解条件
热传导现象： 如果空间某物体G内各处的温度 不同，则热量就从温度较高的点处向温度较 低的点流动。
一、下面先从物理G内的热传导问题出发来导出 热传导方程。
为此，我们用函数 u(x, y, z,t) 表示物体G
在位置 (x, y, z) 处及时刻 t 的温度。
1
热的传播按傅立叶（Fourier）实验定律进行：
n
u u cos u cos u cos .
n x
y
z
3
流入的热量使区域 内部的温度发生变化, 在时间间隔 (t1,t2 ) 中物理温度从 u(x, y, z,t1) 变化到 u(x, y, z,t2) 所需要的热量为
Q2 c(x, y, z)(x, y, z)[u(x, y, z,t2) u(x, y, z,t1)]dv,
物体在无穷小时段 dt 内流过一个无穷小面积
dS 的热量 dQ 与物体温度沿曲面 dS 法线方向 的方向导数 u 成正比，而热流方向与温度升高的
n
方向相反，即
dQ k(x, y, z) u dSdt, n
其中 k(x, y, z) 称为物体在点 (x, y, z) 处的热传导 系数，为正值. 当物体为均匀且各向同性时，
t x x y y z z
u t
a
2
(
2u x 2
2u y 2
2u z2 )
f
(x,
y, z,t).
其中 f (x, y, z,t) F(x, y, z,t) / c.
非齐次热传 导方程
相对应的一维、二维热传导方程可 类似写出。
9
二、定解条件
初始条件：表示初始时刻物体内温度的分布情况
u(x, y, z,t) |t0 (x, y, z),
[t2 k u dS]dt t2 ( F(x, y, z,t)dv)dt.
t1 n
t1
8
{t2 [c u (k u ) (k u ) (k u )]dv}dt
t1
t x x y y z z
t2 ( F(x, y, z,t)dv)dt.
t1
c u (k u ) (k u ) (k u ) F(x, y, z,t).
是连续的,于是得
c u (k u ) (k u ) (k u ).
t x x y y z z
上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程.
如果物体是均匀的,此时 k,c, 为常数, 记
k / c a2, 则得
u t
a
2
(
2u x 2
2u y 2
2u z 2 ).
齐次热传导 方程
7
如果所考察的物体内部有热源(例如物体中通有
(t2 c udv)dt
t1
t
{t2 [ (k u ) (k u ) (k u )]dv}dt
t1 x x y y z z
移项即得 6
{t2 [c u (k u ) (k u ) (k u )]dv}dt 0.
t1
t x x y y z z
由于 t1,t2 与区域 都是任意取的,并且被积函数
5
而 Q2 可化为 （利用牛顿-莱布尼兹公式）
Q2 c[u(x, y, z,t2) u(x, y, z,t1)]dv
c( t2 udt)dv
t1 t
因此由
t2 (
t1
c udv)dt,
t
c[u(x, y, z,t2 ) u(x, y, z,t1)]dv
[t2
t1
k u dS]dt n
k(u cos u cos u cos )dS]dt.
x
y
z
利用奥-高(Gauss)公式
(
P x
Q y
R z
)dv
(P
cos
Q
cos
R
cos
)dS
设函数 u 关于变量 x, y, z 具有二阶连续偏导数,
关于变量 t 具有一阶连续偏导数, Q1 可化为
Q1
{t2
t1
[ (k u ) (k u ) (k u )]dv}dt; x x y y z z
则相应的边界条件为
u n
|S
0.
绝热性边界条 件
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1.3 拉普拉斯方程与定解条件
拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的 分布规律.
1.三维拉普拉斯(Laplace)方程 (调和方程)
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
(1)
凡具有二阶连续偏导数并满足方程(1)的连 续函数为调和函数.
方程(1)通常表示成