y A
l/2 A
l/2
q
C l/2
q
C l/2
Bx
Bx FB
10
§6-2 拉压超静定问题
Ⅰ. 拉压超静定基本问题 举例说明拉压超静定问题的解法。
11
例题 6-1
求图a所示等直杆AB的约束力，并求C截面的 位移。杆的拉压刚度为EA。
12
例题 6-1
1. 有两个未知约束力FA , FB（图a），但只有一个独 立的平衡方程
4
Ⅱ. 解超静定问题的基本思路 例1
解除 “多余” 约束 (例如杆3与 接点A的连接)
基本静定系(primary statically determinate system)
5
在基本静定系上加 上原有荷载及“多 余”未知力
并使“多余”约束 处满足变形(位移) 相容条件
B
C
D
1
2
FN3
A
A
ΔA'
A'
3. 根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程
Mea MBl GIp GIp
求得
MB
Mea l
可由平衡方程求得为
MA
Me
MB
Me
Mea l
Meb
l
47
例题 6-5
(c)
4. 杆的AC段横截面上的扭矩为
TAC
Me
MB
MA
Meb l
从而有
C
TAC a GIp
Meab
lGIp
48
例题 6-6
图a所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外半径为rb，内半径为 ra的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。 试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应 力沿半径的变化情况。
Fa FB l
所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指 向相符，即向上。
15
例题 6-1
4. 由平衡方程
FA+FB-F=0
得
FA=F-Fa/l=Fb/l。
5. 利用相当系统（图b）求得DC。
ΔC
FAa EA
Fb l
a
EA
Fab lEA
16
例题 6-1
1. 拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件，本例的相容条件为 DlAC+DlBC＝0。因为变形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移条件DB ＝0代替相容条件。
38
例题 6-4
3. 变形相容条件是杆的总长度保持不变，即
Δlt ΔlF 0
(1)
(c) (d)
39
例题 6-4
4. 将(2)式代入(1)，得
Δlt lΔtl,
(2)
ΔlF
FBl EA
FNl EA
补充方程为
l
Δt
l
FNl EA
0
(3)
(c)
(d)
40
例题 6-4
5. 由(3)式解得
FN l EAΔt
3
FN3 A3
19.51 MPa
（压应力）
33
例题 6-3
1. 求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几 何方程。
2. 以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使 构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不 利影响。
34
(2) 温度应力 也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形
FN1
FN 2
ΔeEA l
1
1 2 EA
所得结果为正，说明原先假 定杆1、2的装配内力为拉力和杆 3的装配内力为压力是正确的。
E3 A3
FN 3
ΔeE3 A3 l
1
1 E3 A3 2EA
32
例题 6-3
5. 各杆横截面上的装配应力如下：
1
2
FN1 A
74.53
MPa
（拉应力）
FN1a EA
解得
2 FN3 2a，
EA
FN1=2FN3, FN2=2FN1=4FN3
FN2a 2 FN1a
EA
EA
(3)
(4)
E
(d) C Dl1
FN1
22
F
FN1 3 A Dl3 C 45o
FN2 D
C1 Dl1 C'
Dl2
D'
F
BD Dl2
F
FN2
例题 6-2
5. AB杆受力如图b所示，ΣMA=0得
超静定杆系(结构)由于存在“多 余”约束，因此如果各杆件在制造时 长度不相匹配，则组装后各杆中将产 生附加内力──装配内力，以及相应 的装配应力。
24
(a)
图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了De，装配后各杆 的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点 A' 处受到装配力FN3作用(图 b)，而杆1,2在汇交点A' 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。
3
FA FAx A
q
FB
FA
FC q
FB
FAx A B
B C
l
l/2
l/2
(a)
(b)
图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。
此时有四个未知约束力FAx, FA, FB, FC，但只有三个独立的静力平衡方程── 一次超静定问题。
超静定问题(statically indeterminate problem)：单凭静力平衡方程不 能求解约束力或构件内力的问题。
FA＋FB－F=0 故为一次静不定问题。
13
例题 6-1
2. 取固定端B为“多余”约束，FB为 多余未知力。相当系统如图b所示，它应
满足相容条件为DB＝0，利用叠加法得 DBF+DBB=0，参见图c ， d 。
14
例题 6-1
3. 利用胡克定律后可得补充方 程为
Fa FBl 0 EA EA
由此求得
28
例题 6-3
解：1. 装配后有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，如图d所示。但平行力系只有 二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可 判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力 平衡方程：
Fx 0
(d)
FN3 2FN1 0
两根相同的钢杆1、 2，其长度l =200 mm， 直径d =10 mm。两端用刚性块连接在一起如图a 所示。将长度为200.11 mm，亦即De=0.11 mm的 铜杆3（图b）装配在与杆1和杆2对称的位置(图 c)，求各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横 截面为20 mm×30 mm的矩形，钢的弹性模量 E=210 GPa，铜的弹性模量E3=100 GPa。
FN1
FN 2
FN 3
2cos
De
2cos
l3 E3 A3
2E1
l1 A1 cos2
压力
至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面 积即得。
由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于 根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。
27
例题 6-3
E
F
13 2
a
AC
D
B
a
a
aF
(a)
18
例题 6-2
解： 1. 共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二 次静不定问题。
FAx A FN1
FN3 45o
FN2
B
C
D
FAy
F
a
a
a
(b)
19
例题 6-2
2. 取1杆和2杆为AB杆的多余约束，FN1和FN2为多余未知力。得基本 静定系如图c。
(2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当 系统进行计算。
(3) 无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件 确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。
9
(4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。
如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。
2.小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是利用构件的原始尺寸进行计 算的，所以DBB＝FBl/EA，而不用DBB＝FB(l+DBF)/EA' ，A'为在F力作用下变 形后横截面的面积。
17
例题 6-2
求图a所示结构中1, 2, 3杆的内力FN1 , FN2 , FN3。AB杆为刚性杆，1, 2 , 3杆的拉压刚度均为EA。
49
例题 6-6
Me
Tb Ta
解： 1.
实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和Tb(图b)，但只有一个独立 平衡方程
A
C
BxA
B
l/2
l/2
l
超静定梁
q
基本静定系统
A
B
补充方程为
l/2
FC
l
5ql4 FC l 3 0 384EI 48EI
位移相容条件ΔCq+ΔCFc=0 相 于是可求出多余未知力FC。 当系统
8
Ⅲ. 注意事项 (1) 超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补
充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。
解：
1. 若AB杆仅A端固定，B端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长Dlt， 而不会产生内力。当A、B均为固定端时， Dlt受到约束不能自由伸长，杆端 产生约束力FA和FB。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题。