可变模糊集理论研究在一定时空条件组合下，系统中 模糊事物、模糊现象、模糊概念的相对性与动态可变性， 用数学方法描述其相对可变性。
3.工程背景
模糊性在工程领域大量存在，同时具有自然与社会的 复合特性，存在着复杂的不确定性。这使得人们在从事科 学研究过程中。对模糊性的科学合理的描述更加重要。
二、可变模糊集理论的数学表达
（4） 2,p2 式（17）成为
uj
1
2
1
d d
jg jb
（14）
5、以互补性准则为基础的非结构性决策单元系统理论
1. The Analytic Hierarchy Process—AHP
1977年美国运筹学家Satty T.L. 教授 建立的非结构决策理论——层次分析法
（AHP），将人的判断用数量形式表示出来，改变了长期以来人们对复杂系统主要
即
uij rij
（1-1）
对隐含层的节点k，其输入为
m
Ikj wik rij i 1
（1-2）
输出为
uk
j 1
m
1 wikrij112
1Ik1j112
（1-3）
i1
w ik 为节点i，k的连接权重。
输出层仅一个节点p，输入为
l
I pj wkpukj k 1
（1-4）
w kp 为隐含层与输出层节点的连接权重，输出为
pp
(15)
i1
1
1
djb m i1
w i rij0p pim 1
w irij
pp
(16)
p=2 欧氏距离， p=1 海明距离
（2）在式(14)中引入优化准则参数α
uj
1
α
1
d d
jg jb
α=2 最小二乘方优化准则；
α=1 最小一乘方优化准则。 式（17）称为模糊概念的可变模型。
以3层的模糊优选神经网络系统，输入层有m个输 入节点，即是有m个目标，隐含层有l个隐节点，即有l 个单元系统，输出层仅有一个单节点输出，如图
输出层
隐含层 输入层
l个隐节点 m个输入节点
设有n个样本，对于样本j的输入为rij，i=1，
2，…，m；j=1，2，…，n，在输入层节点i将信息
直接传给隐含层节点，故节点的输出与输入相等，
2rijwkpuk2j
i1
m
wikrij
i1
3
pj
式中 pj 由下式确定
l
1 wkpukj
pj
2u2pj
k1
l
wkpukj
k1
3
M
upj
upj
（1-7） （1-8）
权重调整公式为：
w i t k 1 w i t k w i t k 1 w i t k （1-9）
拐点。因此p=1的模糊优选理论模型（20）为Sigmoid型即S型函数，可用以
描述神经网络系统中神经元的非线性特性或激励函数，将在智能决策、智能
预报有关章节中做详细论述。
BP神经网络
BP神经网络模型 BP神经网络节点的激励函数
FX11ex
FX1e1x
式中x为节点的输入信息；θ为节点的阈值。
由于上述激励函数本身没有物理含义，据此对网络进行学习训练，是 一种黑箱训练方法。训练过程中既无法引入人的经验知识，训练结果也难 以用知识形式加以表达。
（17）
通常情况下，p=1, p=2;α=1，α=2。 可有4种搭配：
（1）α=1, p=1，式（17）变为：
m
uj wirij j1,2 ,,n i1
（13）
用向量式表示：
r11 r12 r1n
U w1,w2,wmr21
r22
r2nu1,u2,un
rm1 rm2 rmn
（18）
即式（17）变为模糊综合评判模型，是一个线性模型，或模糊
Ac
(u)
0
uA(u)uAc
(u)
Ac (u) 1 uA(u)uAc(u)
变换后 A(C(u))Ac(C(u))
~
~
A(C(u))Ac(C(u))
~
~
两个对立概念相对隶属度之和等于1。
2、模糊概念的测度：对立相对隶属度
概念
这个定义是普通集合特征函数χA定义的
Ax10,,
xA xA
的发展。
3、模糊概念（例如优选）的计算模型
(3)
g1,1, ,1T
(4)
m个目标具有不同的权重，设权向量为
ww 1,w 2, w mT
m
满足
wi 1
i 1
由矩阵R知决策j的目标相对优属度向量
rj r1j,r2j, rmT j
决策j与优、劣决策的广义权距离分别为：
1
m
djg
wi 1rij
22
i1
1
1
m
dj b
wi rij02 2m
（22）
当
djb 0.5 时，
d 2u j dd 2 jb
0
又当
d
jb
0.5
时，
d 2u j dd 2 jb
0，故模型（20）的函数图形在区间[0,0.5]为凹性。
而当
djb
0.5
时， d dd
2
u
2
j jb
0 ，故模型（20）的函数图形dj在b 0区.5 间[0.5, 1]为凸性。
因而， djb 0.5 为定义区间[0，1]的单调增函数式（20）的唯一
可变模糊集理论及其应用
提纲 1、模糊概念的客观性、普遍性及可变性 2、模糊概念的测度:对立相对隶属度 3、模糊概念（例如优选）的计算模型 4、模糊概念（例如评价）的可变模型
1、模糊概念的客观性、普遍性
在文学语言范围内的模糊概念 傍晚，一群青年人漫步在宁静的凌水河畔。 早晨好（Good morning!）
aij aji 1 1aij 0
1aji 0
其中 a ij 为元素i与j进行优越性、重要性等各种属性二元比较时赋给的值；
a ji 为元素j 与i进行优越性、重要性等各种属性二元比较时赋给的值。
伏羲六十四卦次序图
伏羲六十四卦方位图中方形地象图
一、可变模糊集理论与方法提出的背景 1. 哲学 2. 数学 3. 工程
up
j 1
m
1 wk rpk
j112
1Ip1j112
i1
则隐含层节点k与输出层节点p的权重调整量公式为
l
1 wkpukj
wkp2u2pjukjkl1kw1kpuk
j3
Mup j
up j
（1-5） （1-6）
则输入层节点i与隐含层节点k的权重调整量公式为
m
1 wikrij
wik
uj
1
2
1
d d
jg jb
1
djg m
wi 1rij
22
i1
1
1
djb m i1
wi rij02 2im 1
wirij22
m
wi 1
i 1
（14）
(8) (9) （6）
把公式(14)变换为可变模型： (1) 在公式(8)、(9)中引入距离参数p
1
djg m
wi 1rij
式（20）函数形态：
u j 是 d jb 的非线性函数，由式（20）得：
duj
ddjb
2djb1djb 1djb2djb22
（21）
因
1djb 0
，故
du j dd jb
0
，则 u j
是关于 d jb
的单调增函数，又
d d 2 u 2 jjd b 2 1 2 d jb1 1 d jd b j2 b 2 d jd 2 b j 2 b3 4 d jb 1 d jb
靠主观判断、缺乏逻辑思维方式进行决策的状况，这是Satty的重要贡献。但AHP
在我国应用存在一个带有根本性的问题，即AHP关于二元比较的互反性判断决策思
维与我国语言、思维习惯不符。
a ji
1 a ij
2.互补性决策思维
笔者根据《周易》中的伏羲六十四卦次序图与方位图中的方形地象图，论证了 该决策思维模式是互补性的。
智能决策支持系统的主要步骤如下： （1）以笔者建立的模糊优选理论为基础，确定模
糊优选系统的层次结构； （2）根据模糊优选系统的层次结构图，构建神经
网络的拓扑结构； （3）将模糊优选模型（20）作为神经网络隐含层、
输出层节点的激励或作用函数，使神经网络系统的运 算具有物理含义;
(4) 应用神经网络BP算法与遗传算法相结合的混 合算法，对网络进行学习与训练。将训练结果用于决 策系统。
w k t p 1 w k t p w k t p 1 w k t p （1-10）
式中t为迭代次数，α为动量系数，0<α<1 模型（1-6）、（1-7）为模糊优选神经网络BP权重调整模
型，简称为模糊优选神经网络BP模型。应用上述模型，并根据 通常神经网络的迭代算法，可确定网络的连接权重值，使实际 输出与期望输出的误差最小。
wirij22
i1
i1
(5) （6）
(7) (8) (9)
设决策j对优的相对隶属度即决策j的相对优属度以uj表示，对劣的相对隶 属度以ujc表示，按对立模糊集定义，有
ucj 1uj
（10）
将相对隶属度定义为权重，则决策j与优决策之间的加权广义权距离 （简称距优距离）为
Djg ujdjg
（11）
决策j与劣决策间的加权广义权距离（简称距劣距离）为
b
d
图1 点x与区间X0、X的位置关系图